Atrisinājums

1. Vislielākā dotās izteiksmes vērtība ir \(1\), jo

\[\sin ^{2010} x+\cos ^{2010} x \leq \sin ^{2} x+\cos ^{2} x=1\]

Dotās izteiksmes vērtība ir \(1\), piemēram, ja \(x=0\). 2. Vismazākā dotās izteiksmes vērtība ir \(2^{-1004}\), ko tā sasniedz, piemēram, ja \(x=\frac{\pi}{4}\). Pamatosim nevienādību

\[\left(\frac{u+v}{2}\right)^{n} \leq \frac{1}{2}\left(u^{n}+v^{n}\right), n \in N, u, v \in[0,+\infty)\]

Apskatīsim funkcijas \(y=x^{n}\) grafiku un hordu \(PQ\), kas savieno divus grafika punktus \(P\left(u; u^{n}\right)\) un \(Q\left(v; v^{n}\right)\) (pieņemsim, ka \(u \leq v\) ) (skat. 23.zīm.). Tad \(\left(\frac{u+v}{2}\right)^{n}\) izsaka ordinātu funkcijas \(y=x^{n}\) grafika punktam, kura abscisa sakrīt ar hordas viduspunkta abscisu, savukārt \(\frac{1}{2}\left(u^{n}+v^{n}\right)\) izsaka hordas \(PQ\) viduspunkta ordinātu. Tā kā funkcija \(y=x^{n}\) pie \(x \in[0;+\infty)\) ir izliekta, visiem \(x\), kur \(u<x<v\), funkcijas grafiks atrodas zem hordas \(PQ\), tātad \(\left(\frac{u+v}{2}\right)^{n} \leq \frac{1}{2}\left(u^{n}+v^{n}\right)\), pie tam vienādība ir spēkā tad un tikai tad, ja \(u=v\). Ņemot \(u=\sin ^{2} x, v=\cos ^{2} x, n=1005\), iegūstam

\[\left(\frac{1}{2}\right)^{1005} \leq \frac{1}{2}\left(\left(\sin ^{2} x\right)^{1005}+\left(\cos ^{2} x\right)^{1005}\right)=\frac{1}{2}\left(\sin ^{2010} x+\cos ^{2010} x\right)\]