Atrisinājums

Acīmredzot skaitlis \(2^{1}=2\) nav sakarīgs.

Tālāk pieņemsim, ka eksistē attiecīga lauzta līnija ar \(2^{2}=4\) posmiem. Apskatīsim kādu tās posmu \(P\). Tam ir kopīgi galapunkti ar diviem citiem posmiem \(P_{1}\) un \(P_{2}\), kas \(P\) nekrusto; \(P\) krustot var tikai vēl kāds cits posms \(P_{3}\). Tātad posmu \(P\) krusto ne vairāk kā viens cits šīs lauztās līnijas posms - pretruna. Tāpēc skaitlis \(4\) nav sakarīgs.

Skaitlis \(2^{3}\) ir sakarīgs, skat., piem., 21.zīm.

Ja skaitlis \(a\) ir sakarīgs, tad arī \(2a\) ir sakarīgs, jo uzzīmējot divas slēgtas lauztas līnijas ar \(a\) posmiem un "sabīdot" tās kopā, kā parādīts 22.zīm., veidosies lauzta līnija ar \(2a\) posmiem, kas katru savu posmu krusto \(2\) reizes.

Tādējādi, ja \(k\) ir naturāls skaitlis, skaitlis \(2^{k}\) ir sakarīgs tad un tikai tad, ja \(k \geq 3\).