Atrisinājums

Pieņemsim, ka privātmājas žogs veido patvaļīgu izliektu daudzstūri (skat. 19.zīm.). Platība, kas sētniekam jānotīra, sastāv no taisnstūriem, kuru viena mala sakrīt ar daudzstūra malu, bet otra mala ir \(1~\mathrm{m}\) gara, un riņķa sektoriem, kuru rādiuss ir \(1~\mathrm{m}\). Izliektam daudzstūrim katras virsotnes iekšējā leņķa lielums nepārsniedz \(180^{\circ}\), tāpēc ārējā leņķa lielums ir lielāks nekā \(180^{\circ}\), tātad pie katras daudzstūra virsotnē šāds riņķa sektors būs.

Daudzstūra iekšējo leņķu summa ir \(180^{\circ} \cdot(n-2)\), kur \(n\) - daudzstūra virsotņu skaits. Pie katras no daudzstūra virsotnēm pilnais leņķis tiek sadalīts četros leņķos: daudzstūra iekšējā leņķī, divos taisnajos leņķos un riņķa sektora leņķī. Tātad visiem riņķa sektoriem piederošo leņķu summa ir \(360^{\circ} \cdot n-2 \cdot 90^{\circ} \cdot n\) \(180^{\circ} \cdot(n-2)=360^{\circ}\). Tātad, neatkarīgi no daudzstūra malu skaita un iekšējo leņķu lielumiem, visu sektoru leņķu summa ir \(360^{\circ}\), t.i., šie sektori kopā veido pilnu riņķi, un to laukumu summa vienāda ar pilna riņķa laukumu \(\pi R^{2}\). Tā kā šajā gadījumā \(R=1~\mathrm{m}\), tad šis laukums ir \(\pi \mathrm{m}^{2}\).

Visu taisnstūru laukumu summa ir \(2010 ~\mathrm{m} \cdot 1 ~\mathrm{m}=2010 ~\mathrm{m}^{2}\). Tātad kopējais laukums, kāds sētniekam ir jānotīra, ir \(\mathbf{2010}+\boldsymbol{\pi} ~\mathrm{m}^{2}\) liels.