Atrisinājums

Neatkarīgi no tā, pret kuru malu pāri (\(AD\) un \(BC\), vai \(CD\) un \(AB\)) perpendikuli tiek vilkti, to krustpunkti ar \(AC\) ir simetriski attiecībā pret \(ABCD\) diagonāļu krustpunktu \(O\) (skat. 18.zīm.) Tā kā abos gadījumos attālums starp krustpunktiem uz \(AC\) ir vienāds, tad tas nozīmē, ka abos gadījumos krustpunkti ir vieni un tie paši (atrodas uz \(AC\ 1~\mathrm{cm}\) attālumā no \(O\)). Viens no šiem krustpunktiem ir \(M\), kurā krustojas perpendikuli \(DE\) un \(BF\).

Aplūkosim trijstūri \(ABD\). \(DE\) un \(BF\) ir šī trijstūra augstumi, kuri krustojas punktā \(M\). Tātad arī \(AO\), kas vilkts no trešās virsotnes un iet caur augstumu krustpunktu, ir augstums.

Tas nozīmē, ka paralelograma \(ABCD\) diagonāles ir perpendikulāras un \(ABCD\) ir rombs. Romba visas malas ir vienādas, līdz ar to \(AB=AD\) un \(ABD\) - vienādsānu trijstūris. Trijstūri \(AOD\) un \(DOM\) ir līdzīgi, jo abi ir taisnleņķa trijstūri, un šaurais leņķis \(\sphericalangle FAO=\sphericalangle MAE\) (jo \(DAB\) - vienādsānu) \(=\sphericalangle ODE\) (kā leņķi ar savstarpēji perpendikulārām malām).

Malu garumus saista attiecība: \(\frac{OD}{OM}=\frac{OA}{OD}.\ OM=1~\mathrm{cm}\), bet \(\frac{OA}{OD}=\frac{7}{4}\). Tātad \(OD=\frac{7}{4} ~\mathrm{cm},\ BD=\frac{7}{2} ~\mathrm{cm},\ OA=\frac{49}{16} ~\mathrm{cm}\) un \(AC=\frac{49}{8} ~\mathrm{cm}\). Romba \(ABCD\) laukums \(L=\frac{AC \cdot BD}{2}=\frac{7 \cdot 49}{2 \cdot 2 \cdot 8}=\frac{343}{32} ~\mathrm{cm}^{2}\).