Atrisinājums

Atbilde: \(12\); piemēram, varam ņemt regulāra \(12\)-stūra, kas ievilkts riņķa līnijā, virsotnes \(A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{12}\). Tad starp katrām \(2\) blakus virsotnēm \(A_{i}\) un \(A_{i+1}\) ir \(30^{\circ}\) loks. Starp virsotnēm \(A_{i}\) un \(A_{i+2}\) ir \(60^{\circ}\) loks un attālums \(A_{i}A_{i+2}=1\). Tas nozīmē, ka vienīgie virsotnu pāri, starp kurām attālums ir mazāks nekā \(1\), ir \(A_{1}A_{2},\ A_{2}A_{3},\ \ldots,\ A_{11}A_{12},\ A_{12}A_{1}\).

Tagad apskatīsim gadījumu, kad uz riņķa līnijas ir atlikti \(13\) punkti \(A_{1},\ A_{2},\ \ldots,\ A_{13}\). Sadalīsim riņķa līniju sešos \(60^{\circ}\) lokos \(B_{1}B_{2},\ B_{2}B_{3},\ B_{3}B_{4},\ B_{4}B_{5},\ B_{5}B_{6},\ B_{6}B_{1}\) tā, lai neviens no punktiem \(B_{i}\) nesakristu ne ar vienu no \(A_{j}\). Tā kā \(13>6 \cdot 2\), tad uz kāda no lokiem būs vismaz \(3\) punkti \(A_{j}\). Apzīmēsim tos ar \(X,\ Y,\ Z\). Tā kā \(X,\ Y,\ Z\) atrodas uz \(60^{\circ}\) loka un nesakrīt ar tā galapunktiem, tad katrs no lokiem \(XY,\ YZ,\ XZ\) ir mazāks nekā \(60^{\circ}\) un attālumi \(XY,\ YZ\) un \(XZ\) ir mazāki nekā \(2 \cdot \sin \left(\frac{60^{\circ}}{2}\right)=2 \sin 30^{\circ}=1\).