Dots, ka \(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\) - pozitīvi skaitļi. Pierādi, ka
\[\frac{x_{1}+x_{3}}{x_{1}+x_{2}}+\frac{x_{2}+x_{4}}{x_{2}+x_{3}}+\frac{x_{3}+x_{1}}{x_{3}+x_{4}}+\frac{x_{4}+x_{2}}{x_{4}+x_{1}} \geq 4\]
Viegli pierādīt nevienādību \(x+y \geq \frac{4}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}\) pozitīviem \(x\) un \(y\).
No tās seko
\(\frac{x_{1}+x_{3}}{x_{1}+x_{2}}+\frac{x_{3}+x_{1}}{x_{3}+x_{4}} \geq 4 \cdot \frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}}\) un
\(\frac{x_{2}+x_{4}}{x_{2}+x_{3}}+\frac{x_{4}+x_{2}}{x_{4}+x_{1}} \geq 4 \cdot \frac{x_{2}+x_{4}}{x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}}\).
Saskaitot šīs nevienādības, iegūstam vajadzīgo.