Atrisināt nevienādību sistēmu
\[\left\{\begin{array}{l} x^{3}y+3 \leq 4z \\ y^{3}z+3 \leq 4x \\ z^{3}x+3 \leq 4y \end{array}\right.\]
pozitīvos skaitļos.
Skaidrs, ka \(4x-3 \geq 0,\ 4y-3 \geq 0,\ 4z-3 \geq 0\). Sareizinot visas nevienādības, iegūstam
\[\begin{equation} x^{4}y^{4}z^{4} \leq(4x-3)(4y-3)(4z-3) \tag{1} \end{equation}\]
Katram \(a\) ir spēkā \(a^{4}+3=\left(a^{4}+1\right)+2 \geq 2a^{2}+2 \geq 4a\), tāpēc \(a^{4} \geq 4a-3\) un vienādība pastāv \(ttt\ a=1\). Tāpēc\[\begin{equation} x^{4}y^{4}z^{4} \geq(4x-3)(4y-3)(4z-3) \tag{2} \end{equation}\]
No (1) un (2) seko \(x^{4}y^{4}z^{4}=(4x-3)(4y-3)(4z-3) \Rightarrow x=y=z=1\).