Dots, ka \(a\) un \(b\) - naturāli skaitļi un skaitļa \(S=a^{2}+ab+b^{2}\) pēdējais cipars ir \(0\). Kāds ir skaitļa \(S\) priekšpēdējais cipars?
Viegli redzēt, ka \(a\) un \(b\) ir pāra skaitļi, tātad \(S\) dalās ar \(4\). Tā kā \(a^{3}-b^{3}=(a-b)\left(a^{2}+ab+b^{2}\right)\), tad \(a^{3}-b^{3} \equiv 0(\bmod 5)\). Tāpēc \(a^{3} \equiv b^{3}(\bmod 5)\); tāpēc \(a \equiv b(\bmod 5)\). Tāpēc \(3a^{2} \equiv a^{2}+ab+b^{2} \equiv 0(\bmod 5)\). Tāpēc \(a \equiv 0(\bmod 5)\). Tāpēc \(S\) dalās ar \(25\). Tā kā \(LKD(4,25)=1\), tad \(S\) dalās ar \(100\) un \(S\) priekšpēdējais cipars ir \(0\).