Dots, ka \(a,\ b,\ c,\ d\) - pozitīvi skaitļi. Pierādīt, ka \(\frac{a+c}{a+b}+\frac{b+d}{b+c}+\frac{c+a}{c+d}+\frac{d+b}{d+a} \geq 4\).
Viegli pierādīt nevienādību \(x+y \geq \frac{4}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}\) pozitīviem \(x\) un \(y\).
No tās seko
\(\frac{a+c}{a+b}+\frac{c+a}{c+d} \geq 4 \cdot \frac{a+c}{a+b+c+d}\) un
\(\frac{b+d}{b+c}+\frac{d+b}{d+a} \geq 4 \cdot \frac{b+d}{a+b+c+d}\).
Saskaitot šīs nevienādības, iegūstam vajadzīgo.