LV.AMO.2007.6.3 lv
Kvadrāts sastāv no \(4 \times 4\) rūtiņām. Katrā no tām ierakstīts vesels pozitīvs skaitlis. Ar vienu gājienu drīkst pieskaitīt vieninieku skaitļiem divās rūtiņās, kurām ir kopīga mala. Vai var panākt, lai visi skaitļi rūtiņās būtu vienādi, ja sākotnējais izvietojums ir tāds, kāds parādīts 1.zīm. (A), (B) un (C)?
Atrisinājums
Atbilde: (A) jā, (B) nē, (C) nē.
Risinājums. (A) piemēram, izdarot šādus gājienus (sk. 6.zīm.).
visi skaitļi kļūs vienādi ar \(6\):
\(a4a3,\ a3a2,\ b3c3,\ d4d3,\ d4d3\ b1b2\ b1b2\ c1c2\ c2d2\ c2d2.\)
(B) Sākumā visu ierakstīto skaitļu summa ir nepāra skaitlis (nepāra skaitā rūtiņu ierakstīti nepāra skaitļi). Ar katru gājienu šī summa palielinās par \(2\), tātad paliek nepāra skaitlis. Bet, ja visi skaitļi kļūtu vienādi ar \(n\), tad to summa \(16n\) būtu pāra skaitlis.
(C) Iepriekšējā pierādījuma metode neder - visu ierakstīto skaitļu summa ir pāra skaitlis, bet lietosim citu. Izkrāsosim rūtiņas šaha galdiņa kārtībā. Tad melnajās un baltajās rūtiņās ierakstīto skaitļu summas nav vienādas. Ar katru gājienu par \(1\) palielinās gan viena, gan otra summa, tātad tās paliek dažādas. Bet, ja visi skaitļi kļūtu vienādi, tad abām šīm summām arī būtu jākļūst vienādām.