Atrisinājums

Apzīmējam \(\sphericalangle ASB=\alpha\). Saskaņā ar teorēmu par pieskares garuma kvadrātu mums pietiek pierādīt, ka \(SM \cdot SA=SN \cdot SD\).

Tā kā \(SM=SB \cdot \cos \alpha\) un \(SN=SC \cdot \cos \alpha\), pietiek pierādīt, ka \(SB \cdot SA \cdot \cos \alpha=SC \cdot SD \cdot \cos \alpha\). Ja būtu \(\cos \alpha=0\), tad \(\alpha=90^{\circ}\) un \(S\) atrodas uz abām riņķa līnijām - pretruna. Tātad pietiek pierādīt, ka \(SB \cdot SA=\mathrm{SC} \cdot SD\) jeb, ka \(\frac{SB}{SC}=\frac{SD}{SA}\). Tas seko no trijstūru \(\triangle BSC\) un \(\triangle DSA\) līdzības.