Atrisinājums

Lemma. \(PA<AB\).

Tiešām, pagarinām \(AP\) līdz krustpunktam \(A_{1}\) ar malu \(BC\). Vai nu \(\sphericalangle AA_{1}B \geqslant 90^{\circ}\), vai arī \(\sphericalangle AA_{1}C \geqslant 90^{\circ}\); varam pieņemt, ka \(\sphericalangle AA_{1}B \geqslant 90^{\circ}\). Tad trijstūrī \(A_{1}B\) leņķis \(A_{1}B\) ir lielākais leņķis, tātad pret to atrodas lielākā mala; tāpēc \(AB>AA_{1}>AP\). Otrā gadījumā \(AB=AC>AA_{1}>AP\).

Tagad atrisināsim uzdevumu.

(A) no lemmas \(PA<a,\ PB<a,\ PC<a\), kur \(a\) - regulārā trijstūra malas garums. Saskaitot šīs nevienādības, iegūstam vajadzīgo.

(B) novelkam \(MN \parallel BC\); tad \(\triangle MAN\) ir regulārs. No trijstūra nevienādības seko \(BP+CP<(BM+MP)+(CN+NP)\), tātad

\[\begin{equation} BP+CP<BM+CN+MN \tag{1} \end{equation}\]

No lemmas seko

\[\begin{equation} AP<AM \tag{2} \end{equation}\]

Saskaitot (1) un (2) un ievērojot, ka \(MN=AN\), iegūstam \(BP+CP+AP<BM+CN+MN+AM==(BM+AM)+(CN+AN)=BA+AC=2 \cdot AB\), k.b.j.