Dots, ka \(a\) - pozitīvs skaitlis. Atrisināt vienādojumu \(x+a^{3}=\sqrt[3]{a-x}\).
Pārveidojam vienādojumu:
\[\begin{aligned} & x+a^{3}=\sqrt[3]{a-x} \\ & \sqrt[3]{a-x}-x=a^{3} \\ & \sqrt[3]{\sqrt[3]{a-x}-x}=a \end{aligned}\]
Uzskatīsim \(a\) par mainīgo, bet \(x\) - par parametru un apskatīsim funkciju\[f(a)=\sqrt[3]{a-x}\]
Mūsu vienādojums pierakstāms formā\[f(f(a))=a\]
Ievērosim, ka \(f(a)\) ir augoša funkcija. Tāpēc, ja \(f(a)>a\), tad \(f(f(a))>f(a)>a\); ja \(f(a)<a\), tad \(f(f(a))<f(a)<a\). Tātad jābūt \(f(a)=a\). No šejienes iegūstam \(x=a-a^{3}\). Pārbaude parāda, ka šī sakne der. \(\underline{Piezīme.}\) Šo sakni nav grūti arī vienkārši uzminēt. Tas, ka tā ir vienīgā, tad seko no fakta, ka dotā vienādojuma kreisajā pusē ir argumenta \(x\) augoša funkcija, bet labajā pusē argumenta \(x\) dilstoša funkcija.