Tenisa turnīrā piedalījās \(n\) spēlētāji, katrs ar katru citu spēlēja tieši \(2\) reizes. Neizšķirtu tenisā nav. Turnīra noslēgumā tieši vienam spēlētājam bija \(13\) uzvaras un tieši \(2\) spēlētājiem - pa \(10\) uzvarām citiem katram bija vai nu \(11\), vai \(12\) uzvaras. Kāda var būt \(n\) vērtība?
Atbilde: \(n=12\).
Risinājums. Skaidrs, ka \(n \geqslant 3\). Apzīmēsim spēlētāju izcīnīto uzvaru daudzumus ar
\[10=k_{1}=k_{2}<k_{3} \leq k_{4} \leq \ldots \leq k_{n-1}<k_{n}=13\]
"Uzvarētājs" pavisam spēlēja \(2(n-1)\) reizes, tātad zaudēja \(2n-15\) reizes. Tā kā "uzvarētājs" nevarēja zaudēt vairāk nekā uzvarēt (un nevarēja arī zaudēt tikpat, cik uzvarēt, jo ir spēlētāji, kas zaudējuši vairāk nekā uzvarējuši), tad \(2n-15<13\), no kurienes \(n<14\), tātad \(n \leqslant 13\). Līdzīgi (apskatot, zaudētājus") iegūstam, ka \(2n-12>10\), tātad \(n>11\) un \(n \geqslant 12\). Tātad vai nu \(n=12\), vai \(n=13\). Pieņemsim, ka \(n=13\). Ja \(i\) spēlētājiem bija \(11\) uzvaras katram un \(j\) spēlētājiem bija \(12\) uzvaras katram, tad pavisam tika izcīnītas \(2 \cdot 10+11i+12j+13=11i+12j+33\) uzvaras. Bet pavisam tika spēlētas \(13 \cdot 12=156\) spēles, tāpēc \(\mathbf{11i+12j=123}\). Tā kā \(\mathbf{i+j=10}\), tad iegūstam \(j=13,\ i=-3\); tā nevar būt. Tāpēc \(n \neq 13\), tātad vienīgā iespēja varētu būt \(n=12\). Tāda iespēja tiešām pastāv: piemēram, "uzvarētājs" abās spēlēs uzvar katru no abiem "zaudētājiem", bet visu citu tenisistu pāru spēlēs katram no abiem spēlētājiem ir pa vienai uzvarai.