Ir dots, ka, sareizinot visus naturālos skaitļus no \(1\) līdz \(33\) ieskaitot, iegūst \(86833176188xy8864955181944012zt000000\), kur \(x,\ y,\ z,\ t\) ir cipari. Noskaidrojiet \(x,\ y,\ z\) un \(t\) vērtības.
Ievērosim, ka \(33!=31 \cdot 29 \cdot 23 \cdot 19 \cdot 17 \cdot 13^{2} \cdot 11^{3} \cdot 7^{4} \cdot 3^{15} \cdot 5^{7} \cdot 2^{31}=M \cdot 11^{3} \cdot 3^{15} \cdot 2^{24} \cdot 10^{7}\), kur \(M\) - naturāls skaitlis, kas nebeidzas ar \(0\). Tāpēc \(33!\) beidzas tieši ar \(7\) nullēm. No tā seko, ka \(t=0,\ z \neq 0\). Skaitlis, ko iegūst, nosvītrojot pēdējās \(7\) nulles, acīmredzami dalās ar \(8\); tāpēc tā pēdējo triju ciparu veidotajam skaitlim jādalās ar \(8\). Skaitlis \(\overline{12z}\) dalās ar \(8\), ja \(z=0\) vai \(z=8\); tā ka \(z \neq 0\), tad \(\mathbf{z=8}\).
Tā kā \(33!\) dalās ar \(9\), tad tā ciparu summai jādalās ar \(9\), t.i., \(142+x+y\) jādalās ar \(9\) (jeb, kas ir tas pats, \(x+y-2\) jādalās ar \(9\)). Tā kā \(33!\) dalās ar \(11\), tad tā alternējošai ciparu summai (nepāra vietās esošie cipari ar " \(+\) " zīmi, pāra vietās esošie cipari ar " \(-\) " zīmi) jādalās ar \(11\), t.i., \((-x+y-22)\) jādalās ar \(11\) (jeb, kas ir tas pats, \(y-x\) jādalās ar \(11\)). Tā kā \(x\) un \(y\) - cipari, tad no šejienes seko, ka \(y=x\); tad no tā, ka \(x+y-2\) dalās ar \(9\), seko, ka \(\mathbf{x=y=1}\).
Atbilde: \(x=y=1;\ z=8;\ t=0\).