Dots, ka \(x^{2}+yz \leq 2,\ y^{2}+xz \leq 2\) un \(z^{2}+xy \leq 2\). Atrast izteiksmes \(x+y+z\) lielāko un mazāko iespējamo vērtību.
Saskaitot dotās nevienādības, iegūstam
\[\begin{equation*} \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)+(xy+xz+yz) \leq 6 \tag{1} \end{equation*}\]
No nevienādības \((x-y)^{2}+(x-z)^{2}+(y-z)^{2} \geq 0\), atverot iekavas, seko\[\begin{equation*} x^{2}+y^{2}+z^{2} \geq xy+xz+yz \tag{2} \end{equation*}\]
No (1) un (2) acīmredzami seko\[\begin{equation*} xy+xz+yz \leq 3 \tag{3} \end{equation*}\]
Saskaitot (1) un (3), iegūstam\[\begin{align*} & x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy+2xz+2yz \leq 9 \\ & (x+y+z)^{2} \leq 9 \\ & -3 \leq x+y+z \leq 3 \end{align*}\]
Vērtības \((-3)\) un \((3)\) tiek sasniegtas pie, piemēram, \(x=y=z=-1\) resp. \(x=y=z=1\), kas apmierina uzdevuma nosacījumus. Tātad \(\mathbf{\min =-3}\) un \(\mathbf{\max =3}\).