Atrisinājums

Pieņemsim pretējo tam, kas jāpierāda.

Tātad katram skaitlim, izņemot \(A_{1}\) un \(B_{5}\), eksistē tāds kaimiņš, kurš ir mazāks par šo skaitli. Atradīsim pa vienam tādam kaimiņam skaitļiem \(A_{2},\ A_{3},\ A_{4},\ A_{5}\). Atrastie kaimiņi visi ir dažādi (citādi šis kaimiņš, kas atrasts divreiz, būtu mazāks par abiem \(A_{i}\), kuriem viņš atrasts, bet mēs pieņēmām, ka šāda skaitļa nav).

Tāpēc \(A_{2}+A_{3}+A_{4}+A_{5}>K_{1}+K_{2}+K_{3}+K_{4}\), kur \(K_{1},\ K_{2},\ K_{3},\ K_{4}\) ir četri no skaitļiem \(B_{1},\ B_{2},\ B_{3},\ B_{4},\ B_{5}\). Ja \(B_{i}\) ir tas no skaitļiem \(B_{1},\ \ldots,\ B_{5}\), kas nav neviens no izvēlētajiem kaimiņiem, tad \(A_{1}+1>B_{i}\), jo gan \(A_{1}\), gan \(B_{i}\) atrodas intervālā \((0;\ 1)\). Saskaitot abas "ierāmētās" nevienādības, iegūstam \(\left(A_{1}+\ldots+A_{5}\right)+1>\left(B_{1}+\ldots+B_{5}\right)\), no kurienes seko \(\left(B_{1}+\ldots+B_{5}\right)-\left(A_{1}+\ldots+A_{5}\right)<1\) - pretruna ar doto.