LV.AMO.2005.11.2 lv
Vienādsānu trapecē \(ABCD\) zināms, ka \(AB=BC=CD\) un \(BC<AD\); diagonāļu krustpunkts ir \(O\). Pierādīt, ka nogriežņu \(AO\) un \(BC\) viduspunkti, kā arī virsotnes \(C\) un \(D\) atrodas uz vienas riņķa līnijas.
Atrisinājums
Atzīmējam arī \(BO\) viduspunktu (skat. zīm.). No viduslīniju īpašībām seko, ka \(MNKC\) vienādsānu trapece, tāpēc punkti \(\mathbf{M},\ \mathbf{N},\ \mathbf{K},\ \mathbf{C}\) atrodas uz vienas riņķa līnijas. Tā kā \(\triangle BOC\) - vienādsānu, tad arī \(\triangle BNK\) - vienādsānu. Tāpēc (atceramies, ka arī \(\triangle BCD\) vienādsānu) \(\sphericalangle ODC+\sphericalangle NKC=\sphericalangle OBC+\sphericalangle NKC=\sphericalangle BKN+\sphericalangle NKC=180^{\circ}\), tātad \(\mathbf{N},\ \mathbf{K},\ \mathbf{C},\ \mathbf{D}\) atrodas uz vienas riņķa līnijas. No abiem pasvītrotajiem apgalvojumiem seko vajadzīgais.
