Atrisinājums

Nē, neeksistē. skaidrs, ka tas nevar būt konstants polinoms. Apzīmējam \(P(x)\) \(=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\ldots+a_{n-1}x+a_{n},\ a_{0} \neq 0,\ n \geq 1\). Tad \(|P(x)|=\left|a_{0}x^{n}\right| \cdot\left|1+\frac{a_{1}}{a_{0}x}+\frac{a_{2}}{a_{0}x^{2}}+\ldots+\frac{a_{n}}{a_{0}x^{n}}\right|\). Ja \(x\) ņems pēc moduļa ļoti lielu, otrā "iekava" nav mazāka par \(\frac{1}{2}\) (jo visi locekļi, kas satur \(x\), kļūst pēc moduļa ļoti mazi). Tātad \(|P(x)|\) neierobežoti aug. Bet \(|\sin x+2005|\) ir ierobežota funkcija.