LV.AMO.2004.8.2 lv
Dots, ka \(\triangle ABC\) pastāv sakarības \(AB=AC\) un \(\sphericalangle ABC=60^{\circ}\); \(w\) ir riņķa līnijas loks, kura centrs ir \(A\), bet galapunkti \(B\) un \(C\) (skat. 4.zīm.). Uz loka \(w\) izvēlēts punkts \(D\), kas atšķiras gan no \(B\), gan no \(C\). Dots, ka \(X,\ Y,\ Z,\ T\) ir attiecīgi nogriežņu \(AB,\ BD,\ DC,\ CA\) viduspunkti. Pierādīt, ka \(XZ \perp YT\).
Atrisinājums
No dotā seko, ka \(ABC\) ir regulārs un \(AB=BC=AC=AD\). No šejienes un trijstūru viduslīniju īpašībām seko \(XY=YZ=ZT=TX\). Tāpēc \(XYZT\) - rombs; tāpēc \(XZ \perp YT\).
