Kādā komisijā strādā \(7\) diplomāti. Katri divi savā starpā sarunājas angļu, vācu vai franču valodā (tikai vienā). Katrs diplomāts ar \(2\) kolēģiem sarunājas angliski, ar \(2\) - vāciski, ar \(2\) - franciski. Pierādiet: var atrast \(3\) diplomātus, kas savā starpā sazinoties lieto visas \(3\) valodas.
Attēlosim diplomātus ar \(7\) punktiem. Izvēlēsimies vienu punktu. Starp atlikušajiem \(6\) punktiem var novilkt \(\frac{6 \cdot 5}{2}=15\) nogriežņus (no katra no \(6\) punktiem iziet \(5\) nogriežņu gali, un katram nogrieznim ir \(2\) gali). Tātad katrs no \(7\) punktiem ietilpst kā virsotne \(15\) trijstūros. Tāpēc trijstūru ar virsotnēm šajos \(7\) punktos ir \(\frac{1}{3} \cdot 7 \cdot 15=35\) (katrs trijstūris summā \(\underbrace{15+15+\ldots+15}_{7\ saskaitāmie}\) ieskaitīts \(3\) reizes). Nokrāsosim nogriežņus atbilstoši valodām, kādas sarunā lieto attiecīgie diplomāti, krāsās \(a,\ v,\ f\). Padomāsim, cik ir trijstūru, kuru malas nokrāsotas tikai divās vai vienā krāsā. Acīmredzot, jebkuram punktam \(A\) ir trīs šādi trijstūri ar virsotni \(A\), kam vienā krāsā nokrāsotas no \(A\) izejošās malas. Tātad šādu trijstūru nav vairāk par \(3 \cdot 7=21\) (atceramies, ka trijstūri, kam visas malas nokrāsotas vienādi - ja tādi ir - šādi tiek uzskaitīti \(3\) reizes katrs). Tā kā \(35>21\), tad ir vismaz \(14\) trijstūri, kam visas malas nokrāsotas dažādi. Katra šāda trijstūra virsotnes dod mums vajadzīgo diplomātu trijnieku.