Atrisinājums

Atbilde: \(S\) lielākā iespējamā vērtība ir \(6\).

1. Parādīsim, ka \(A\) var panākt, vismaz vienā \(3 \times 3\) rūtiņu kvadrātā summu \(6\).

Apzīmēsim kvadrāta rindas un kolonnas, kā parādīts 14.zīm. Mēs lietosim izteicienus " \(A\) raksta rūtiņā " \(c4\) " utml. Ar \(K(c4)\) sapratīsim \(3 \times 3\) rūtiņu kvadrātu, kura centrālē rūtiņa ir \(c4\), utml.

Pirmo gājienu \(A\) izdara rūtiņā \(c3\). Simetrijas pēc varam uzskatīt, ka \(B\) atbild ar gājienu \(4.\) vai \(5.\) rindiņā. Otro gājienu \(A\) izdara rūtiņā \(c2\) (skat. 15.zīm.). Ja tagad \(B\) neizdarīs gājienu rūtiņā \(c1\), tad vismaz vienā no kvadrātiem \(K(b2)\) un \(K(d2)\) paliks \(2\) vieninieki un neviena nulle. Tad \(A\) savu trešo gājienu izdarīs rūtiņā \(c1\). Tagad vai nu \(K(b2)\), vai \(K(d2)\) satur \(3\) vieniniekus un nevienu nulli. Turpinot spēlēt tikai šajā kvadrātā, \(A\) sasniegs savu mērķi.

Tāpēc pieņemam, ka \(B\) otrais gājiens ir rūtiņā \(c1\) (skat. 16.zīm.). Savus \(2\) nākamos gājienus \(A\) izdara rūtiņās \(b3\) un \(d3\). Viegli saprast, ka \(B\) jāatbild ar gājieniem attiecīgi kvadrātos \(K(b2)\) un \(K(d2)\), citādi vienā vai otrā no tiem \(A\) sasniegs savu mērķi. Tagad kvadrātā \(K(c4)\) ir \(3\) vieninieki un varbūt viena nulle (jo \(B\) to tur ierakstīja savā pirmajā gājienā. Šajā kvadrātā ir vismaz \(5\) tukšas rūtiņas, tāpēc \(A\) var sasniegt savu mērķi.

2. Parādīsim, kā \(B\) var nepieļaut, ka \(S>6\).

Ievērosim, ka katrs \(3 \times 3\) rūtiņu kvadrāts satur \(3\) pilnus 17.zīm. redzamos rūtiņu pārus. Tāpēc \(B\) spēlē, katrā no šiem pāriem ierakstot vismaz vienu nulli. Viņš to spēj izdarīt: ja \(A\) ieraksta \(1\) līdz tam tukša pāra vienā rūtiņā, \(B\) atbild ar nulli otrā šī pāra rūtiņā. Pretējā gadījumā \(B\) izdara patvaļīgu gājienu.