Pierādīt: \(\triangle ABC\) visu leņķu kosinusi ir racionāli skaitļi tad un tikai tad, ja \(\triangle ABC\) līdzīgs tādam trijstūrim, kura visu malu garumi izsakās ar veselu skaitu centimetru.
Ja \(\triangle ABC\) līdzīgs \(\triangle A_{1}B_{1}C_{1}\) ar veseliem malu garumiem, vajadzīgais seko no kosinusu teorēmas.
Pieņemsim, ka \(\cos A, \cos B, \cos C\) - racionāli skaitļi. Tad
\[\cos C=-\cos \left(180^{\circ}-C\right)=-\cos (A+B)=-\cos A \cos B+\sin A \sin B\]
Iegūstam, ka \(\sin A \sin B\) - racionāls skaitlis. Līdzīgi pierāda, ka \(\sin A \sin C\) un \(\sin B \sin C\) racionāli skaitli. Tā kā \(\sin A \neq 0,\ \sin B \neq 0,\ \sin C \neq 0\), šos reizinājumus var dalīt vienu ar otru: iegūstam, ka \(\frac{\sin A}{\sin B},\ \frac{\sin B}{\sin C}\) un \(\frac{\sin C}{\sin A}\) ir racionāli skaitļi. Tātad katru divu leņķu sinusi attiecas kā naturāli skaitļi. Atliek pielietot sinusu teorēmu.