Doti pozitīvi reāli skaitļi \(x, y, z\) ar īpašību, ka jebkuru divu šo skaitļu starpība ir mazāka nekā \(2\). Pierādīt, ka

\[ \sqrt{xy+1}+\sqrt{yz+1}+\sqrt{zx+1}>x+y+z. \]

Uz \(6 \times 6\) šaha galdiņa katra lauciņa sākumā atrodas pa tornim. Katrā gājienā drīkst noņemt no galdiņa jebkuru vienu torni, kas apdraud nepāra skaitu citu torņu (torņi apdraud viens otru, ja tie atrodas vienā rindā vai vienā kolonnā un starp tiem nav citu torņu). Kāds ir lielākais torņu skaits, ko var noņemt?

Dotas \(79\) pēc ārējā izskata vienādas monētas, no tām \(7\) ir viltotas, bet pārējās ir īstas. Visu īsto monētu masa ir vienāda, visu viltoto monētu masa arī ir vienāda, īstā monēta ir smagāka par viltoto. Kā ar \(3\) svēršanām uz sviras svariem bez atsvariem atrast \(9\) īstās monētas?

Uz vienādsānu trijstūra \(ABC\) sānu malām \(AB\) un \(AC\) atlikti attiecīgi punkti \(K\) un \(L\) tā, ka \(AK=CL\) un \(\angle ALK+\angle BKL=60^\circ\). Pierādīt, ka \(KL=BC\).

Kādā ciemā dzīvo \(n>3\) pļāpas; katrai mājās ir telefons. Šodien katra pļāpa piezvanīja vismaz vienai citai. Starp katrām divām pļāpām notika tieši viena saruna. Pierādīt, ka var atrast trīs tādas pļāpas \(A\), \(B\) un \(C\), ka \(A\) piezvanīja \(B\), \(B\) piezvanīja \(C\) un \(C\) piezvanīja \(A\).

Ilmārs un Kims spēlē spēli, pamīšus izdarot gājienus, Ilmārs sāk pirmais. Sākumā uz tāfeles ir uzrakstīts skaitlis \(2\). Savā gājienā spēlētājs nodzēš uz tāfeles uzrakstīto skaitli \(x\) un tā vietā uzraksta kādu naturālu skaitli \(y\), kuram \(x<y<2x\). Uzvar tas spēlētājs, kas uzraksta uz tāfeles skaitli (A) \(31\); (B) \(2026\). Kuram spēlētājam ir uzvaroša stratēģija?

Doti pozitīvi reāli skaitļi \(a, b\). Zināms, ka \(2026\) skaitļu \(\frac{a+1}{b+1}, \frac{a+2}{b+2}, \ldots, \frac{a+2026}{b+2026}\) summa ir vienāda ar \(2026\). Ar ko ir vienāds šo \(2026\) skaitļu reizinājums?

Alberts ir pierakstījis virkni \(a_1, a_2, \ldots, a_{2026}\), kurā katrs no skaitļiem \(1, 2, \ldots, 2026\) parādās tieši vienu reizi. Kristīne vēlas noteikt šo virkni, veicot vairākus gājienus, pēc kuriem Alberts viņai sniedz informāciju. Vienā gājienā Kristīne uz lapas uzraksta skaitļus no \(1\) līdz \(2026\) un dažus no tiem savieno ar līnijām tā, ka katrs skaitlis ir savienots ar ne vairāk kā vienu citu skaitli. Pēc tam viņa iedod šo lapu Albertam. Tad Alberts uz citas lapas uzraksta skaitļus no \(1\) līdz \(2026\) un katram skaitļu pārim \(i\) un \(j\), kurus Kristīne savienoja ar līniju, viņš savieno ar līniju skaitļus \(a_i\) un \(a_j\). Beigās viņš iedod šo lapu Kristīnei. Kāds ir mazākais gājienu skaits, kas nepieciešams, lai Kristīne varētu noteikt Alberta sākotnējo virkni?

Dots \(45\)-ciparu skaitlis, tā pieraksts sastāv no viena vieninieka, diviem divniekiem, trīs trijniekiem, \(\ldots\), deviņiem devītniekiem. Pierādīt, ka tas nevar būt vesela skaitļa kvadrāts!

Izteiksmē

\[\frac{\ast}{\ast + \ast} + \frac{\ast}{\ast + \ast}\]

Vai taisnstūrveida torti, kuras pamatnes platums ir \(n\) cm un garums ir \(55\) cm, var sagriezt \(n\) gabalos, kuru izmērs ir \(5 \times 11\) cm (tie var būt novietoti gan horizontāli, gan vertikāli), ja (A) \(n=38\); (B) \(n=39\)?

Doti reāli skaitļi \(a_1, a_2, \ldots, a_{104}\), kuriem izpildās

\[a_1 + a_2 \cdot a_3 \cdot \ldots \cdot a_{104} = a_2 + a_3 \cdot \ldots \cdot a_{104} \cdot a_1 = \ldots =\]

\[= a_{104} + a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_{103} = 2026.\]

Dots riņķa līnijā ievilkts četrstūris \(ABCD\), kuram \(BC<AD\). Punkts \(E\) ir taisņu \(AB\) un \(CD\) krustpunkts. Punkti \(K\) un \(L\) ir izvēlēti attiecīgi uz malām \(CD\) un \(AB\) ar īpašību, ka \(\angle KAD=\angle KBC\) un \(\angle LDA=\angle LCB\). Pierādīt, ka \(EK=EL\).

Saskaitot divus naturālus skaitļus, Kristīne nejauši pierakstīja \(0\) viena skaitļa beigās. Rezultātā viņa ieguva summu \(999999\), lai gan pareizajai summai bija jābūt \(333333\). Kādi bija sākotnējie skaitļi, kurus Kristīne gribēja saskaitīt?

Olimpiādes komisija piedalījās cepumu cepšanas konkursā. Katrs komisijas loceklis izcepa dažus cepumus. No visiem izceptajiem cepumiem \(\frac{1}{4}\) izrādījās konkursam nederīgi. Visvairāk derīgo cepumu bija tieši diviem komisijas locekļiem, katram no viņiem derīgo cepumu skaits bija tieši \(\frac{1}{8}\) no visu sākotnējo (gan derīgo, gan nederīgo) cepumu kopskaita. Vismazāk derīgo cepumu bija tieši pieciem komisijas locekļiem, katram no viņiem derīgo cepumu skaits bija tieši \(\frac{1}{12}\) no visu derīgo cepumu kopskaita. Cik cilvēku ir olimpiādes komisijā?

Dota \(10 \times 10\) rūtiņu tabula, katrā tās rūtiņā ir ierakstīts kāds vesels skaitlis (starp tiem var gadīties arī vienādi). Sauksim rūtiņu par labu, ja visu skaitļu summa kolonnā, kurā atrodas šī rūtiņa, nepārsniedz visu skaitļu summu rindā, kurā atrodas šī rūtiņa. Atrodiet mazāko iespējamo labo rūtiņu skaitu šādā tabulā.

Vai iespējams 2. att. redzamo figūru noklāt ar desmit (A) 3. att.; (B) 4. att. redzamajām figūrām? Dalījuma līnijas drīkst iet tikai pa rūtiņu līnijām, figūras drīkst pagriezt vai apmest otrādi, bet tās nevar pārklāties vai iziet ārpus 2. att. figūras robežām.

Kāds ir lielākais septiņciparu palindroms, kas dalās ar \(18\)?

Piezīme. Palindroms ir naturāls skaitlis, kuru, lasot no otra gala (no labās puses uz kreiso), iegūst to pašu skaitli. Piemēram, palindromi ir \(77, 151, 8338\) u.c.

Saskaitot divus naturālus skaitļus, Kristīne nejauši pierakstīja \(0\) viena skaitļa beigās. Rezultātā viņa ieguva summu \(10000\), lai gan pareizajai summai bija jābūt \(2026\). Kādi bija sākotnējie skaitļi, kurus Kristīne gribēja saskaitīt?

Spēles vienā gājienā drīkst vai nu pieskaitīt skaitlim vienu no tā cipariem, vai arī atņemt no skaitļa vienu no tā cipariem. Nākamajā gājienā tiek izmantots jaunais skaitlis. (Piemēram, no skaitļa \(128\) var iegūt \(128-2=126\), tad nākamajā gājienā \(126+6=132\) utt.)

(A) Vai, izpildot vairākus gājienus, no skaitļa \(10\) var iegūt skaitli \(31\)?

(B) Vai, izpildot vairākus gājienus, no skaitļa \(1000\) var iegūt skaitli \(3001\)?

Šaurleņķu trijstūrī \(ABC\) novilkti augstumi \(CH\) un \(AA_1\), turklāt \(AH=BC\). Caur \(H\) novilkta taisne paralēli malai \(BC\), tā krusto augstumu \(AA_1\) punktā \(K\). Pierādīt, ka \(K\) atrodas uz leņķa \(ABC\) bisektrises.

Ar \(d(a)\) apzīmēsim naturāla skaitļa \(a\) dalītāju skaitu no \(1\) līdz \(a\) ieskaitot. Naturālu skaitli \(n>1\) sauksim par stilīgu, ja tam izpildās šādas divas īpašības:

• \(d(n)\) ir nepāra skaitlis;
• \(d(k)\leq d(l)\) visiem \(k<l\), kas abi ir skaitļa \(n\) dalītāji.

Pierādi, ka skaitlis ir stilīgs tad un tikai tad, ja tas izsakāms formā \(p^{2m}\), kur \(m\) ir naturāls skaitlis un \(p\) ir pirmskaitlis!

Naturālu skaitļu kopu \(S\) sauksim par latvisku, ja tai izpildās šādas divas īpašības:

• katriem diviem dažādiem kopas \(S\) elementiem \(a,b\) piemīt īpašība, ka \(a^2 + 1\) dalās ar \(b\) un \(b^2 + 1\) dalās ar \(a\);
• katrs kopas \(S\) elements ir lielāks nekā \(2026\).

Atrast visus naturālos skaitļus \(n \geq 2\), kuriem eksistē latviska naturālu skaitļu kopa, kas sastāv tieši no \(n\) dažādiem elementiem.

Riņķa līnijā \(\omega\), kuras centrs ir punkts \(O\), ir ievilkts piecstūris \(ABCDE\) tā, ka taisnes \(AE\) un \(BD\) ir paralēlas. Uz diagonālēm \(AC\) un \(CE\) ir attiecīgi izvēlēti punkti \(X\) un \(Y\) ar īpašību, ka

\[\angle ABX = \angle CBD \quad \text{un} \quad \angle EDY = \angle CDB\]

Atrast visus naturālo skaitļu trijniekus \(a,b,c\), kuriem eksistē tādi naturāli skaitļi \(x,y,z\), ka \(ab+1=x!\), \(bc+1=y!\) un \(ca+1=z!\).

Piezīme. Ar \(n!\) apzīmē skaitļa \(n\) faktoriālu – pirmo \(n\) naturālo skaitļu reizinājumu, piemēram, \(5!=5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=120\).

Sienāzis lec pa skaitļu taisni \(2\) vai \(3\) vienības pa labi. Tas nedrīkst nonākt punktos, kas atbilst pirmskaitļiem. Cik dažādos veidos tas no \(1\) var nokļūt uz \(36\)?

Piezīme. Pirmskaitlis ir naturāls skaitlis, kas ir lielāks par \(1\) un kam ir tieši divi dažādi dalītāji – pats skaitlis un \(1\).

Cik dažādos veidos \(3 \times 3\) rūtiņu tabulā var ierakstīt skaitļus no \(1\) līdz \(9\) (katrā rūtiņā citu skaitli) tā, lai katrā stūra rūtiņā esošais skaitlis būtu vismaz par \(4\) lielāks nekā katrs no tā abiem kaimiņiem?

Piezīme. Par kaimiņiem sauc rūtiņas, kurām ir kopīga mala. Izkārtojumi, kurus var iegūt citu no cita ar simetrijām vai pagriezieniem, tiek uzskatīti par dažādiem.

Andris ir iedomājies patvaļīgu naturālu skaitli \(n\). Juris savā gājienā pasaka Andrim piecus dažādus naturālus skaitļus \(a, b, c, d, e\), un Andris pasaka Jurim vienu no skaitļiem \(na, nb, nc, nd, ne\) (bet nepaskaidro, kura reizinājuma vērtību viņš saka). Vai Juris vienmēr var noskaidrot \(n\) vērtību (A) vienā gājienā; (B) divos gājienos?

Dots trijstūris \(ABC\). Punkts \(O\) ir trijstūrim \(ABC\) apvilktās riņķa līnijas centrs. Perpendikuls, kas vilkts no punkta \(B\) pret \(AO\), krusto malu \(AC\) punktā \(M\). Perpendikuls, kas vilkts no punkta \(C\) pret \(AO\), krusto taisni \(AB\) punktā \(N\). Pierādīt, ka \(BC^2=BM\cdot CN\).

Kāda trijstūra leņķi ir \(\alpha\), \(\beta\) un \(\gamma\). Zināms, ka \(\alpha < \beta < \gamma\) un

\[ \sin^2 \alpha + \sin^2 \beta = \cos^2 \alpha + \cos^2 \beta. \]

Artim, Brencim un Centim katram mamma iedeva \(n\) eiro. Par savu naudu Artis nopirka vienu cirkuli, Brencis nopirka divas pildspalvas, bet Centis nopirka piecus zīmuļus. Saskaitot atlikušo naudu, izrādījās, ka visiem zēniem kopā ir tieši \(n\) eiro. Pierādīt, ka kāds no zēniem var nopirkt sev vēl vienu tādu pašu rakstāmpiederumu (Artis - cirkuli, Brencis - pildspalvu vai Centis - zīmuli), izmantojot tikai savu naudas atlikumu.

Trijstūra malu garumi ir \(a, b, c\) (\(a>b>c\)); viens no trijstūra leņķiem ir \(60^\circ\) liels. Pierādīt, ka eksistē trijstūris, kura malu garumi ir \(a, b, a-c\) un viens no leņķiem arī ir \(60^\circ\) liels.

Vai, izmantojot viencipara skaitļus \(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\), var uzrakstīt trīs nesaīsināmas daļas \(\frac{a}{b}\), \(\frac{c}{d}\) un \(\frac{e}{f}\) tā, ka

\[\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} \cdot \frac{e}{f}=1?\]

Reālu skaitļu trijnieku \(x, y, z\) sauksim par triādi, ja \(x+y+z=1\).

(A) Atrast lielāko konstanti \(C\) ar īpašību, ka jebkurai triādei \(\max(x^2+y, y^2+z, z^2+x)\geq C\).

(B) Pierādīt, ka neeksistē tāda konstante \(C\), ka jebkurai triādei \(\min(x^2+y, y^2+z, z^2+x)\leq C\).

Dārzā aug \(4\) bumbieres un dažas ābeles. Zināms, ka no katras ābeles tieši \(10\) metru attālumā aug tieši divas bumbieres. Kāds lielākais skaits ābeļu var augt šādā dārzā?

Doti četri naturāli skaitļi \(a<b<c<d\). Zināms, ka skaitļu \(a, b, c\) vidējais aritmētiskais ir divas reizes mazāks par skaitļu \(a, b, c, d\) vidējo aritmētisko. Kāda ir mazākā iespējamā \(d\) vērtība?

Vai eksistē tāds naturāls skaitlis \(n\), ka tam var atrast trīs dažādus tā dalītājus \(a, b, c\), kuri ir lielāki par \(1\) un kuriem izpildās, ka skaitlis \((a-1)(b-1)(c-1)\) dalās ar: (A) \(n\); (B) \(n^2\)?

Skolotājs uz tāfeles uzrakstīja kvadrātvienādojumu \(x^2+10x+20=0\). Pēc tam katrs skolēns pēc kārtas palielināja vai samazināja par \(1\) vai nu koeficientu pie \(x\), vai brīvo locekli (bez \(x\)). Galarezultātā uz tāfeles palika uzrakstīts kvadrātvienādojums \(x^2+20x+10=0\). Vai noteikti var apgalvot, ka kādā brīdī uz tāfeles bija uzrakstīts kvadrātvienādojums ar veselām saknēm?

Vai eksistē kvadrāttrinoms \(ax^2+bx+c\), kur \(a, b, c\) ir veseli nepāra skaitļi un \(\frac{1}{2026}\) ir viena no tā saknēm?

Kvadrāts sastāv no \(4 \times 4\) vienādām kvadrātiskām rūtiņām. Rūtiņās ierakstīti naturāli skaitļi no \(1\) līdz \(16\) (katrā rūtiņā cits skaitlis). Rūtiņu sauc par izcilu, ja tajā ierakstītais skaitlis ir mazāks par ne vairāk kā vienā kaimiņu rūtiņā ierakstītu skaitli (divas rūtiņas sauc par kaimiņu rūtiņām, ja tām ir kopīga mala vai kopīgs stūris). Kāds lielākais skaits rūtiņu var būt izcilas?