Dots izliekts četrstūris \(ABCD\), kuram \(\angle CBD = 2 \angle CAD\) un \(\angle CDB = 2 \angle CAB\). Pierādīt, ka \(CA\) ir \(\angle BCD\) bisektrise!

Doti sviras svari un 30 atsvari, kuru svars ir 1 kg, 2 kg, 3 kg, ..., 30 kg. Alfrēds un Kims spēlē spēli, Alfrēds sāk. Vienā gājienā spēlētājs izvēlas (vēl iepriekš neizvēlētu) atsvaru un uzliek to uz viena no svaru kausiem. Kad visi 30 atsvari ir salikti uz svaru kausiem, tad aprēķina uz tiem uzliktās masas starpību (no smagākā kausa atņemot vieglāko). Apzīmēsim šo starpību ar \(S\). Alfrēda uzdevums ir panākt pēc iespējas mazāku \(S\) vērtību. Kāda ir mazākā iespējamā \(S\) vērtība, ko Alfrēds noteikti var panākt, neatkarīgi no tā, kā spēlē Kims?

Sākumā uz tāfeles ir uzrakstīts skaitlis 1234. Pēteris un Lote spēlē spēli. Viņi izdara gājienus pamīšus, Pēteris sāk pirmais. Katrā gājienā spēlētājs atņem no tobrīd uz tāfeles esošā skaitļa vienu no tā nenulles cipariem un uzraksta uz tāfeles iegūto starpību (esošo skaitli nodzēš). Uzvar tas spēlētājs, kurš savā gājienā uzraksta skaitli 0. Kurš spēlētājs noteikti var uzvarēt, pareizi spēlējot (kuram no spēlētājiem ir uzvarošā stratēģija)?

Kādu mazāko skaitu mazo trijstūrīšu var nokrāsot melnus tā, lai katram mazajam baltajam trijstūrītim būtu kopēja mala ar vismaz vienu melno (skat. 4.att.)?

Viens aiz otra uzrakstīti 9 veseli (ne noteikti dažādi) skaitļi. Zināms, ka katru piecu pēc kārtas uzrakstītu skaitļu vidējais aritmētiskais ir 10. Vai iespējams, ka visu 9 uzrakstīto skaitļu vidējais aritmētiskais ir 2026?

Piezīme. Par doto skaitļu vidējo aritmētisko sauc doto skaitļu summas dalījumu ar šo skaitļu skaitu.

Doti naturāli skaitļi \(a\) un \(b\) ar īpašību, ka \(a + d(a) = b^2 + 2\), kur \(d(n)\) ir skaitļa \(n\) naturālo dalītāju skaits (ieskaitot 1 un \(n\)). Pierādīt, ka \(a - b\) ir pāra skaitlis!

Rūtiņu tabulā \(2026 \times 2026\) atzīmētas 2026 rūtiņas tā, ka katrā rindā un katrā kolonnā ir atzīmēta tieši viena rūtiņa. Kāds lielākais rūtiņu skaits var būt taisnstūrim, kurā neviena rūtiņa nav atzīmēta? Taisnstūra malām jāatrodas uz rūtiņu malām.

\(4 \times 4\) rūtiņu tabulā ierakstīti 16 veseli skaitļi (ne obligāti dažādi), kas nav mazāki par 0, katrā rūtiņā viens skaitlis. Alfrēds aprēķināja skaitļu reizinājumu katrā rindā un katrā kolonnā un iegūtos rezultātus augošā secībā ierakstīja burtnīcā. Vai iespējams, ka Alfrēda burtnīcā ir ierakstīti skaitļi \(0, 0, 2, 6, 20, 26, 2026, 2026\)?

Vai izteiksmi \((2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1) ... (2^{128} + 1)\) var izteikt formā \(2^a - 2^b\), kur \(a\) un \(b\) ir veseli skaitļi?

Dots naturāls skaitlis \(N\). Elza kartē uzzīmēja 99 pilsētas un savienoja tā, lai starp katrām divām pilsētām ir ne vairāk kā 1 ceļš un kopā ir \(N\) ceļi. Pēc tam Elza un Ramona, sākot ar Elzu, pamīšus dzēš pa vienai pilsētai, līdz paliek tieši divas. Ja tās ir savienotas ar ceļu, uzvar Elza; pretējā gadījumā uzvar Ramona. Atrast mazāko \(N\) vērtību, pie kuras Elzai ir uzvaroša stratēģija!

\(4 \times 4\) rūtiņu tabulā ierakstīti 16 veseli skaitļi (ne obligāti dažādi), katrā rūtiņā viens skaitlis. Alfrēds aprēķināja skaitļu reizinājumu katrā rindā un katrā kolonnā un iegūtos rezultātus augošā secībā ierakstīja burtnīcā. Vai iespējams, ka Alfrēda burtnīcā ir ierakstīti skaitļi

(A) \(-2, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10\);
(B) \(-10, -6, -5, -4, -3, -2, 1, 2\)?

Dots trijstūris \(ABC\) ar \(\angle A = 120^\circ\). Uz \(\angle BAC\) bisektrises atlikts punkts \(D\), tāds, ka \(AD = AB + AC\). Pierādīt, ka trijstūris \(BDC\) ir vienādmalu.

No 24 melniem un 25 baltiem kubiņiem ir izveidots “tornis”, saliekot kubiņus vienu virs otra. Uz katra melnā kubiņa ir uzrakstīts balto kubiņu skaits, kas atrodas virs tā, bet uz katra baltā kubiņa ir uzrakstīts melno kubiņu skaits, kas atrodas virs tā. Kāda var būt visu uzrakstīto skaitļu summa?

Jānītis vēlas 1. att. redzamo figūru sadalīt 4 vienādos daudzstūros, griežot pa rūtiņu līnijām. Parādi 5 dažādus veidus, kā viņš to var izdarīt (veidi skaitās dažādi, ja iegūtie daudzstūri ir dažādi)!

Piezīme. Daudzstūri ir vienādi, ja tos (pagriežot vai apmetot otrādi) var uzlikt vienu uz otra tā, ka tie sakrīt.

Atrast visus tādus naturālos skaitļus \(n\), ka \(n! - 144\) ir naturāla skaitļa kvadrāts!

Atrast visus naturālos skaitļus \(n\), kuriem vienlaicīgi izpildās šādas divas īpašības: 1) skaitļi \(n - 1\) un \(n + 1\) abi ir pirmskaitļi; 2) skaitļa \(n\) visu pozitīvo dalītāju (ieskaitot 1 un \(n\)) summa ir vienāda ar \(2n\).

Atrisināt reālos skaitļos vienādojumu sistēmu

\[ \begin{cases} x + y - z = 1 \\ x^2 - y^2 + z^2 = 1 \\ x^3 + y^3 - z^3 = 1 \end{cases} \]

Kādu taisnstūru ar veseliem malu garumiem ir vairāk: ar perimetru 2024 vai ar perimetru 2026? (Taisnstūri \(a \times b\) un \(b \times a\) tiek uzskatīti par vienādiem).

Doti naturāli skaitļi \(a\) un \(b\), kuriem ir spēkā \(34a = 43b\). Pierādīt, ka skaitlis \(a + b\) nav pirmskaitlis!

Alise mežā satika 5 rūķīšus. Katrs no viņiem vai nu vienmēr saka patiesību, vai vienmēr melo. Kad Alise pajautāja, cik no viņiem ir meļi, viņa saņēma 5 atšķirīgas atbildes. Tās visas bija veseli skaitļi, kas nav mazāki kā 0 un nav lielāki kā 5. Vai noteikti bija kāds rūķītis, kas pateica: (A) 3; (B) 4?

Vai iespējams noklāt 9. att. redzamās figūras ar 8. att. redzamajām figūrām? Dalījuma līnijas drīkst iet tikai pa rūtiņu līnijām. 8. att. figūras drīkst būt pagrieztas vai apmestas otrādi, bet tās nevar pārklāties viena ar otru vai iziet ārpus 9. att. figūrām.

Vai iespējams noklāt 18. att. redzamās figūras ar 17. att. redzamajām figūrām? Dalījuma līnijas drīkst iet tikai pa rūtiņu līnijām. 17. att. figūras drīkst būt pagrieztas vai apmestas otrādi, bet tās nevar pārklāties viena ar otru vai iziet ārpus 18. att. figūrām.

\(3 \times 3\) punktu režģī (skat. 12. att.) 5 no punktiem nokrāsoti sarkani. Tomass uzzīmēja visus iespējamos trijstūrus, kuriem visas 3 virsotnes ir sarkanajos punktos, apzīmēsim to skaitu ar \(n\). Atrast visas iespējamās \(n\) vērtības.

Trīs meitenēm kopā bija 120 konfektes. No sākuma Jūlija iedeva Nellijai un Sintijai tik konfekšu, cik viņām katrai tobrīd jau bija. Tad Nellija iedeva Sintijai un Jūlijai tik konfekšu, cik viņām katrai tobrīd jau bija. Visbeidzot Sintija iedeva Jūlijai un Nellijai tik konfekšu, cik viņām katrai tobrīd jau bija. Beigās visām meitenēm bija vienāds konfekšu daudzums. Cik konfekšu bija katrai meitenei sākumā?

Piecās kastēs kopā ir 21 bumbiņa, bumbiņu skaits jebkurās divās kastēs ir atšķirīgs. Zināms, ka, izvēloties jebkuras divas kastes un paņemot visas bumbiņas no tām, šīs bumbiņas var ievietot pārējās trīs kastēs tā, lai jaunais bumbiņu skaits katrā no šīm trim kastēm būtu vienāds. Pierādiet, ka vienā no kastēm ir tieši 7 bumbiņas. Norādiet piemēru, kas atbilst uzdevuma nosacījumiem.

Šaurleņķu trijstūrī \(ABC\) novilkti augstumi \(BE\) un \(CF\), kas krustojas punktā \(H\). Nogriežnis \(HT\) ir trijstūra \(FHE\) augstums. Trijstūru \(ABC\) un \(BHT\) apvilktās riņķa līnijas vēlreiz krustojas punktā \(X\). Pierādīt, ka \(\angle TXA = \angle BAC\).

Uz šaurleņķu trijstūra \(ABC\) malas \(AB\) atlikts punkts \(D\), un uz malas \(AC\) atlikts punkts \(E\) tā, ka \(ED \parallel BC\). Nogriezņi \(EB\) un \(CD\) krustojas punktā \(F\). Zināms, ka \(S(\triangle BFD) = 4\) un \(S(\triangle EFD) = 2\). Aprēķināt \(S(\triangle ABC)\).

Māris izvēlējās trīs dažādus pozitīvus reālus skaitļus \(a, b, c\) un uzrakstīja uz tāfeles sešus skaitļus \(a + b\), \(b + c\), \(c + a\), \(ab\), \(bc\), \(ca\). Kāds ir mazākais iespējamais dažādu skaitļu skaits uz tāfeles?

Dots izliekts četrstūris \(ABCD\), tā diagonāles krustojas punktā \(O\), zināms, ka \(AB = DC\) un \(AC = DB\). Pierādīt, ka \(AO = DO\)!

Piezīme. Par izliektu sauc daudzstūri, kuram visi leņķi ir mazāki nekā \(180^\circ\).

Kādu lielāko skaitu dažādu naturālu skaitļu var uzrakstīt uz tāfeles tā, ka neviens no uzrakstītajiem skaitļiem nedalās ar 210, bet, sareizinot jebkurus četrus no tiem, reizinājums dalās ar 210?

Atrisināt reālos pozitīvos skaitļos vienādojumu sistēmu

\[ \begin{cases} 2x^2 + y^2 = 3 \\ 3y^2 + z^3 = 4 \\ 4z^2 + x^3 = 5 \end{cases} \]

Atrast visus tādus naturālos skaitļus \(n\), ka (A) \(n! - 8\); (B) \(n! - 1\) ir naturāla skaitļa kvadrāts!

Piezīme: Ar \(n!\) apzīmē visu to naturālo skaitļu reizinājumu, kuri nepārsniedz \(n\). Piemēram, \(5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120\).

Divi \(n\)-ciparu skaitļi katrs satur visus ciparus no \(1\) līdz \(n\) ieskaitot. Vai var gadīties, ka šo skaitļu summā visi cipari ir nepāra, ja (A) \(n = 5\); (B) \(n = 7\)?

Dots taisnleņķa trijstūris \(ABC\) ar leņķiem \(\angle C = 90^\circ\) un \(\angle B = 30^\circ\). Uz malas \(AC\) atlikts punkts \(D\) tā, ka \(DC = 3\). Uz malas \(BC\) atlikts punkts \(E\) tā, ka \(EB = 4\). Aprēķināt malas \(AC\) garumu, ja \(DE = 6\).

Šaurleņķu trijstūra \(ABC\) apvilktajai riņķa līnijai punktā \(A\) novilkta pieskare. Punkti \(D\) un \(E\) atrodas uz pieskares ar īpašību, ka \(AD = AB\) un \(AC = AE\) un tā, ka punkts \(D\) atrodas tuvāk punktam \(B\) nekā \(C\), un punkts \(E\) atrodas tuvāk punktam \(C\) nekā \(B\). Pierādīt, ka trijstūru \(DLE\) un \(BLC\) apvilktās riņķa līnijas pieskaras, ja punkts \(L\) ir trijstūrī \(ABC\) ievilktās riņķa līnijas centrs!

Uzrakstiet tādu deviņciparu skaitli, kuram visi cipari ir dažādi un katrs skaitlis, ko veido divi blakusesoši cipari, dalās ar \(7\) vai ar \(13\).

Uz paralelograma \(ABCD\) malas \(AB\) atlikts punkts \(E\) tāds, ka \(AE : EB = 1 : 2\). Taisnes \(AC\) un \(ED\) krustojas punktā \(O\). Aprēķināt nogriežņa \(AO\) garumu, ja zināms, ka \(AC = 20\).

Dots kvadrāts \(ABCD\), kura malas garums ir 12. Uz malas \(AB\) atlikts punkts \(E\) tā, ka \(AE = 3\). Caur punktu \(E\) novilkta taisne, kas paralēla \(BD\), tā krusto malu \(AD\) punktā \(F\). Taisne \(CF\) krusto malas \(AB\) pagarinājumu punktā \(G\). Aprēķināt nogriežņa \(CG\) garumu!

Vai no 6. att. redzamām figūrām var salikt
(A) taisnstūri ar izmēriem \(5 \times 10\) rūtiņas,
(B) taisnstūri ar izmēriem \(3 \times 8\) rūtiņas?

Figūras var būt arī pagrieztas vai apmestas otrādi, bet tās nevar pārklāties viena ar otru vai iziet ārpus taisnstūra robežām.

Sportisti Māris, Kims un Ilmārs skrēja maratonu. Pirms maratona 4 eksperti bija izteikuši savas prognozes par sportistu rezultātiem.

Pirmais: “Uzvarēs Māris vai Kims.”
Otrais: “Ja Kims ieņems otro vietu, tad Ilmārs uzvarēs.”
Trešais: “Ja Kims atskries trešais, tad Māris neuzvarēs.”
Ceturtais: “Vai nu Kims, vai Ilmārs būs otrajā vietā.”

Pēc sacensībām izrādījās, ka neviens no ekspertiem nav kļūdījies. Kādā secībā finišēja sportisti?