Pirmskaitļi \(p\) un \(q\) ir tādi, ka \(p^{2}+p q+q^{2}\) ir kāda naturāla skaitla kvadrāts. Pierādīt, ka \(p^{2}-p q+q^{2}\) ir pirmskaitlis!

Divas dažādas skaitḷu virknes \(a_{1} ; a_{2} ; \ldots ; a_{2025}\) un \(b_{1} ; b_{2} ; \ldots ; b_{2025}\) katra satur visus naturālos skaitļus no \(1\) līdz \(2025\) (katru tieši vienu reizi), bet skaitlu virkne \(c_{1} ; c_{2} ; \ldots ; c_{2025}\) satur visus pāra skaitlus no \(2\) līdz \(4050\) katru tieši vienu reizi. Pierādīt, ka

\[\frac{c_{1}^{2}-4 a_{1} b_{1}}{a_{1}+b_{1}+c_{1}}+\frac{c_{2}^{2}-4 a_{2} b_{2}}{a_{2}+b_{2}+c_{2}}+\cdots+\frac{c_{2025}^{2}-4 a_{2025} b_{2025}}{a_{2025}+b_{2025}+c_{2025}}>0\]

Četrstūris \(ABCD\), kuram \(AB + CD = AD\), ir ievilkts riṇka līnijā. Pierādīt, ka leṇḳu \(ABC\) un \(BCD\) bisektrišu krustpunkts atrodas uz četrstūra malas \(AD\).

Četrstūris \(ABCD\) ievilkts riṇk̦a līnijā, tā diagonāles krustojas punktā \(E\). Uz hordām \(AC\) un \(BD\) attiecīgi atlikti tādi punkti \(F\) un \(G\), ka \(AF=BE\) un \(DG=CE\). Pierādīt, ka punkti \(B,F,G,C\) atrodas uz vienas riṇḳa līnijas!

Dots \(7 \times 7\) rūtiṇu kvadrāts. No šī kvadrāta izgrieza 12 figūras, kas katra bija vai nu \(1 \times 4\) rūtiṇu taisnstūris (vertikāls vai horizontāls), vai arī \(2 \times 2\) rūtiṇu kvadrāts, pāri palika viena rūtiṇa. Kurā vietā sākotnējā kvadrātā varēja atrasties šī pāri palikusī rūtiṇa?

Dots \(5 \times 5\) rūtiṇu kvadrāts, kurā katrā rūtiṇā ierakstīts skaitlis no \(1\) līdz \(25\) (skat. 5.att.). No šī kvadrāta izgrieza \(6\) figūras, kas katra bija vai nu \(1 \times 4\) rūtiņu taisnstūris (vertikāls vai horizontāls), vai arī \(2 \times 2\) rūtiṇu kvadrāts, pāri palika viena rūtiņa. Kāds skaitlis var būt rakstīts uz šīs rūtiņas?

Uz tāfeles sākumā uzrakstīti divi vieninieki. Vienā gājienā var:

• nodzēst vienu uz tāfeles uzrakstīto skaitli un tā vietā uzrakstīt divas reizes lielāku;
• ja uz tāfeles uzrakstītie skaitḷi ir dažādi (apzīmēsim tos ar \(x>y\)), tad nodzēst skaitli \(x\) un tā vietā uzrakstīt skaitli \(x-y\).

Vai, atkārtojot šādus gājienus, var panākt, ka uz tāfeles ir uzrakstīti skaitļi (A) \(20\) un \(24\); (A) \(20\) un \(25\)?

Dotas septiṇas pēc ārējā izskata vienādas monētas, no kurām piecas ir īstas (tām visām ir vienāda masa), bet divas ir viltotas (abām viltotajām ir vienāda masa), turklāt zināms, ka viltotā monēta ir vieglāka nekā īstā. Kā ar \(3\) svēršanām uz sviru svariem bez atsvariem atrast abas viltotās monētas?

Dots vienādsānu trijstūris \(ABC\), kuram \(AB=AC\) un \(\sphericalangle BAC=80^{\circ}\). Uz malas \(AC\) atlikts punkts \(E\) tā, ka \(\sphericalangle EBC=30^{\circ}\), bet uz nogriežṇa \(BE\) atlikts punkts \(M\) tā, ka \(\sphericalangle MCB=10^{\circ}\). Aprēḳināt \(\sphericalangle AMC\) lielumu!

Pierādīt, ka visām naturālām \(n\) vērtībām \(2^{2n-1} 3^{n-1}+5^{n}\) dalās ar \(7\).

Uz tāfeles uzrakstīti divi polinomi \(P(x)=x^{2}+2\) un \(Q(x)=x+1\). Vienā gājienā Ilmārs izvēlas kādus divus uz tāfeles jau uzrakstītus polinomus \(a\) un ( \(a\) un \(b\) var būt arī viens un tas pats polinoms) un uzraksta uz tāfeles kādu no polinomiem \(a+b, a-b\) vai \(a \cdot b\) (rezultātā var sanākt arī nulltās pakāpes polinoms, kas ir skaitlis). Vai, atkārtojot šādas darbības, viṇam kādā brīdī var izdoties uz tāfeles uzrakstīt polinomu: (A) \(x^{3}+2\); (B) \(x^{4}+2\) ?

Uz tāfeles uzrakstīti visi naturālie skaitlli no 1 līdz 2025. Alise un Kate spēlē šādu spēli. Spēli sāk Alise, viṇas gājienus veic pamǐšus un katrā gājiena katra meitene nodzēš vienu skaitli. Spēle beidzas, kad uz tāfeles palikuši divi skaitļi. Ja šo skaitlu summa ir kāda naturāla skaitla kvadrāts, tad uzvar Alise, pretējā gadījumā uzvar Kate. Kura meitene, pareizi spēlējot, noteikti var uzvarēt?

Dots naturāls skaitlis \(n>1\). Katram skaitla \(n+1\) pozitīvam dalītājam \(d\) (ieskaitot 1 un \(n+1\) ) Petrs izdalīja skaitli \(n\) ar \(d\) (ar atlikumu), dalījumu uzrakstīja uz tāfeles, bet atlikumi ierakstīja kladē. Pierādīt, ka uz tāfeles un kladē ir uzrakstīti vieni un tie paši skaitļi!

Dotas septiṇas pēc ārējā izskata vienādas monētas, no kurām piecas ir īstas (tām visām ir vienāda masa), bet divas ir viltotas (abām viltotajām ir vienāda masa), turklāt zināms, ka viltotā monēta ir vieglāka nekā īstā. Kā ar 3 svēršanām uz sviru svariem bez atsvariem atrast abas viltotās monētas?

Pozitīviem reāliem skaitliem \(x, y, z\) izpildās \(x+y+z=1\). Pierādīt, ka

\[\frac{1}{x y-z+2}+\frac{1}{y z-x+2}+\frac{1}{x z-y+2} \geq \frac{27}{16}\]

Ap apaḷu galdu sēž 8 bērni. Katriem trīs pēc kārtas sēdošiem bērniem kopā ir nepāra skaits konfekšu. Pierādīt, ka katram bērnam ir vismaz viena konfekte!

Uz trijstūra \(ABC\) malas \(AB\) atlikts tāds punkts \(D\), ka \(AD:DB = 2:1\). Trijstūra \(ABC\) mediāna \(BE\) krusto \(CD\) punktā \(F\). Pierādīt, ka \(BF=FE\).

Vai eksistē tādi veseli skaitli \(a, b, c, d\), ka \(|a-b|+|b-c|+|c-d|+|d-a|=2025\)?

Bezgalīgā naturālu skaitḷu virknē katru nākamo skaitli, sākot no otrā, var iegūt iepriekšējam pieskaitot vai nu \(54\), vai \(77\). Pierādīt, ka šajā virknē ir skaitlis, kuram divi pēdējie cipari ir vienādi!

Naturālu skaitli ar vismaz diviem cipariem sauksim par īpašu, ja, nodzēšot jebkuru vienu tā ciparu, iegūst sākotnējā skaitḷa dalītāju. Piemēram, \(120\) ir īpašs skaitlis (dalās gan ar \(12\), gan ar \(20\), gan ar \(10\), nodzēšot attiecīgi \(0\); \(1\) vai \(2\)). Atrast visus deviņciparu īpašos skaitlus, kuri dalās ar deviṇi!

Piezīme. Gadījumā, ja pēc pirmā cipara nodzēšanas atlikušais skaitlis sākas ar vienu vai vairākām nullēm, tad liekās nulles tiek atmestas.