Dots kvadrāts ar izmēriem \(6 \times 6\) rūtiṇas. lekrāso 6 rūtiṇas tā, lai no dotā kvadrāta nevarētu izgriezt nevienu 6. att. doto figūru, kam visas rūtiņas ir neiekrāsotas!

Dots regulārs piecstūris, kurā novilktas visas diagonāles, kas to sadala \(11\) daḷās (skat. 9. att.).
(A) Katrā daḷā ierakstīt vienu naturālu skaitli no \(1\) līdz \(11\) (katrā daḷā citu) tā, lai visos trijstūros, kam visas virsotnes ir arī dotā piecstūra virsotnes, ierakstīto skaitlu summa ir viena un tā pati!
(B) Kāds skaitlis var būt ierakstīts daļā, kas apzīmēta ar \(X\)?

Atrast visus naturālos trīsciparu skaitḷus, kuri ir tieši \(5\) reizes lielāki par savu ciparu reizinājumu!

Atrast divus tādu veselu skaitlu \(a, b\) un \(c\) trijniekus \((a ; b ; c)\), ka \(972^{a} \cdot 32^{b} \cdot 9^{c}=1\).

Aprēḳināt izteiksmes \(\frac{20252024^{2}}{20252023^{2}+20252025^{2}-2}\) vērtību!

Doti seši atsvari, uz kuriem ir uzraksti \(1~\text{g}\), \(2~\text{g}\), \(3~\text{g}\), \(4~\text{g}\), \(5~\text{g}\), \(6~\text{g}\), kas atbilst atsvara masai gramos. Zināms, ka pieci no šiem uzrakstiem ir pareizi, bet viens ir nepareizs - attiecīgā atsvara masa ir lielāka nekā norādīts uzrakstā. Kā ar divām svēršanām uz sviru svariem var noskaidrot, kurš uzraksts ir nepareizs?

Piezīme. Sviru svari ir svari, kuriem svirai abos galos piestiprina vienādus svaru kausus. Ja abos kausos ievieto priekšmetus ar vienādu masu, tad svaru kausi ir līdzsvarā. Ja vienā kausā ieliktais priekšmets ir smagāks, tad atbilstošais kauss nosveras uz leju.

Atrisināt naturālos skaitlos vienādojumu \((a+1)(b+1)(c+1)=3 a b c\).

Kādā pilsētā ir kvadrātveida ielu plānojums, attālums starp diviem blakus krustojumiem ir 1 km. Dažos ielu krustojumos atrodas piemineklis, kas apzīmēts ar melnu punktu (skat. 8. att.). Ziṇkārīgs tūrists kādā dienā (ejot pa ielām) apmeklēja visus šīs pilsētas pieminekḷus. Vai var gadīties, ka viṇa maršruta garums bija tieši 25 km, ja tas
(A) sākās pie pieminekḷa \(A\) un beidzās pie pieminekla \(B\);
(B) sākās pie pieminekl!a \(C\) un beidzās pie pieminekla \(D\)?

Piezīme. Pa vienu ielas posmu starp diviem blakus krustojumiem drīkst iet arī vairāk nekā vienu reizi.

Cik starp pirmajiem 2025 naturālajiem skaitlliem ir tādu skaitļu \(x\), ka skaitlis \(x(x+1)\) dalās ar \(74\)?

Izliektā piecstūrī četras no diagonālēm ir paralēlas kādai no piecstūra malām. Pierādīt, ka arī piektā diagonāle ir paralēla kādai piecstūra malai!

Kāds ir vismazākais naturālais skaitlis, kuram ir tieši \(18\) dažādi naturāli dalītāji un kas dalās ar \(7\)?

Atrast vismazāko naturālo skaitli \(N\), kam reizinājums \(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot N\) dalās ar (A) 434; (B) 2025.

Dotas sešas bumbiṇas, uz kurām ir uzraksti \(1~\text{g}\), \(2~\text{g}\), \(3~\text{g}\), \(4~\text{g}\), \(5~\text{g}\), \(6~\text{g}\), kas atbilst bumbiṇas masai gramos. Zināms, ka pieci no šiem uzrakstiem ir pareizi, bet viens ir nepareizs - attiecīgās bumbiṇas masa ir mazāka nekā norādīts uzrakstā. Kā ar divām svēršanām uz sviru svariem var noskaidrot, kurš uzraksts ir nepareizs?

Piezīme. Sviru svari ir svari, kuriem svirai abos galos piestiprina vienādus svaru kausus. Ja abos kausos ievieto priekšmetus ar vienādu masu, tad svaru kausi ir līdzsvarā. Ja vienā kausā ieliktais priekšmets ir smagāks, tad atbilstošais kauss nosveras uz leju.

Desmitstūra virsotnēs ieraksti 10 dažādus naturālus skaitlus tā, lai vienlaicīgi izpildās nosacījumi:

• jebkuriem diviem blakus virsotnēs ierakstītiem skaitlliem lielākais kopīgais dalītājs būtu \(1\);
• katra ar raustītu līniju uzzīmētā nogriežņa galapunktos (skat. 4. att.) ierakstīto skaitḷu reizinājums dalītos ar \(3\);
• visu desmit ierakstīto skaitḷu summa būtu vismazākā iespējamā!

Pietiek tikai ar piemēru, kā ierakstīt skaitļus. Nav jāpamato, ka iegūtā summa ir mazākā iespējamā.

Ieraksti 14. att. redzamās figūras katrā tukšajā taisnstūrī veselu skaitli tā, lai katrā taisnstūrī, izṇemot apakšējo rindu, ierakstītais skaitlis ir divu skaitl!u, kas atrodas divos taisnstūros tieši zem tā, summa!

Šaurleņku trijstūrī \(ABC\) novilkti augstumi \(AK\) un \(BL\). Zināms, ka \(BK=KL\). Pierādīt, ka trijstūris \(ABC\) ir vienādsānu!

Kādu četru dažādu naturālu skaitlu reizinājums ir \(414\)? Atrodi visus iespējamos variantus un pamato, ka citu nav!

Doti tādi reāli skaitļi \(a, b\) un \(c\), ka \(a^{2}+c-bc = b^{2}+a-ac = c^{2}+b-ab\). Vai noteikti \(a=b=c\) ?

Vai naturāla skaitḷa ciparu reizinājums var būt (A) \(2520\); (B) \(5460\)?

Pirmklasnieki un otrklasnieki, kopā \(30\) bērni, sastājās aplī un sadevās rokās. Izrādījās, ka \(20\) bērni aiz rokas turēja vismaz vienu pirmklasnieku, bet \(24\) bērni aiz rokas turēja vismaz vienu otrklasnieku. Cik varēja būt otrklasnieku?

Trīs naturālus skaitlus \(A, B\) un \(C\) saista sakarības: \(A<B<C\) un \(C-B=B-A\). Skaitḷu \(A, B\) un \(C\) pierakstā kopā ir izmantoti tieši astoņi cipari, kas visi ir savā starpā atškirīgi. Vai ir iespējams, ka skaitlis \(A\) ir (A) divciparu skaitlis; (B) viencipara skaitlis?

Dots regulārs piecstūris, kurā novilktas visas diagonāles, kas to sadala \(11\) daḷās (skat. 2. att.). Katrā dalā ierakstīt vienu naturālu skaitli no \(1\) līdz \(11\) (katrā daḷā citu) tā, lai visos trijstūros, kam visas virsotnes ir arī dotā piecstūra virsotnes, ierakstīto skaitlu summa ir viena un tā pati!

Doti tādi naturāli skaitļi \(a, b\) un \(c\), ka skaitlis \(\frac{a \sqrt{2}+b}{b \sqrt{2}+c}\) ir racionāls. Pierādīt, ka \(ab + bc + ac\) dalās ar \(a+b+c\).

Dots taisnstūris \(ABCD\), kuram \(AB<BC\). Uz malas \(BC\) ir izvēlēts tāds punkts \(E\), ka \(AE=AD\). Leņka \(DAE\) bisektrise krusto malu \(CD\) punktā \(F\). Trijstūrī \(ADE\) novilkts augstums \(EH\). Pierādīt, ka punkti \(A,H,F,C\) atrodas uz vienas riṇķa līnijas!

Sešstūra virsotnēs ieraksti 6 dažādus naturālus skaitļus tā, lai vienlaicīgi izpildās nosacījumi:

• jebkuriem diviem blakus virsotnēs ierakstītiem skaitļiem lielākais kopīgais dalītājs būtu 1;
• katra ar raustītu līniju uzzīmētā nogriežṇa galapunktos (skat. 1. att.) ierakstīto skaitlu reizinājums dalītos ar 3;
• visu sešu ierakstīto skaitḷu summa būtu vismazākā iespējamā!

Pietiek tikai ar piemēru, kā ierakstīt skaitlus. Nav jāpamato, ka iegūtā summa ir vismazākā iespējamā.

Pie apaḷa galda apsēdušies daži rūkīši un katram no viṇiem sākumā ir pāra skaits konfekšu. Ik pēc brīza burvju feja pamāj ar nūjiṇu un tad visi rūk̦īši reizē dalās ar savām konfektēm - katrs rūḳītis atdod pusi no savām konfektēm blakus pa labi sēdošajam rūķītim. Pēc tam katram rūḳītim, kam atlicis nepāra skaits konfekšu, feja iedod vienu papildu konfekti. Pierādīt, ka pēc galīga šādu gājienu skaita visiem rūḳīšiem būs vienāds skaits konfekšu!

Vai skaitli 299 var izteikt kā vairāku (vismaz divu) naturālu skaitļu summu tā, lai arī šo skaitḷu reizinājums būtu 299?

Šaurleṇḳu trijstūrī \(ABC\) visi augstumi krustojas punktā \(M\). Aprēḳināt \(\sphericalangle ACB\), ja \(AB=CM\)!

Alise un Kate spēlē spēli. Pirmajā gājienā Kate nosauc skaitli nulle, pēc tam viņas pamīšus izdara gājienus. Katra meitene savā gājienā izvēlas vienu naturālu skaitli no \(1\) līdz \(10\), pieskaita to pēdējam nosauktajam skaitlim un nosauc rezultātu. (Piemēram, ja Alise savā gājienā ir nosaukusi skaitli \(18\), tad Kate var nosaukt jebkuru naturālu skaitli no \(19\) līdz \(28\)). Uzvar tā meitene, kas nosauc skaitli \(100\). Kura meitene vienmēr var uzvarēt, neatkarīgi no otras spēlētājas gājieniem?

Alise un Kate spēlē spēli. Pirmajā gājienā Kate nosauc skaitli nulle, pēc tam viṇas pamīšus izdara gājienus. Katra meitene savā gājienā izvēlas vienu naturālu skaitli no \(1\) līdz \(10\), pieskaita to pēdējam nosauktajam skaitlim un nosauc rezultātu. (Piemēram, ja Alise savā gājienā ir nosaukusi skaitli \(18\), tad Kate var nosaukt jebkuru naturālu skaitli no \(19\) līdz \(28\)). Uzvar tā meitene, kas nosauc skaitli 56. Pamato, ka Alise vienmēr var uzvarēt, neatkarīgi no Kates nosauktajiem skaitļiem!

Dota tabula ar izmēriem \(n \times n\) rūtiṇas. Katrā tabulas rūtiṇā ierakstīts kāds naturāls skaitlis no \(1\) līdz \(n^{2}\), katrā rūtiṇā atškirīgs skaitlis. Tabulu sauksim par sakarīgu, ja katrā kvadrātā ar izmēriem \(2 \times 2\) rūtiṇas ierakstīto skaitlu reizinājums dalās ar \(5\).
(A) Pierādīt, ka tabula nav sakarīga, ja \(n\) ir pāra skaitlis.
(B) Kāds ir lielākais nepāra skaitlis \(n\), kuram tabula var būt sakarīga?

Atrast divas tādas reālas pozitīvas \(x\) vērtības, ka \(2 x^{x}=\sqrt{2}\).

Zināms, ka naturālam skaitlim \(A\) ir tieši 111 dažādi naturāli dalītāji. Pierādīt, ka \(A\) nedalās ar 216 .

Rindā novietotas \(n\) bumbiņas. Katra bumbiṇa nokrāsotā kādā no \(100\) krāsām. Bumbiņas saliktas tā, ka katrai krāsai \(A\) un katrai krāsai \(B\) ir tāda bumbiṇa krāsā \(A\), kas atrodas pa kreisi no kādas bumbiṇas krāsā \(B\) (ne obligāti blakus). Kāda ir mazākā iespējamā \(n\) vērtība?

Dots taisnstūris ar izmēriem \(1 \times n\) rūtiṇas, kur \(n \geq 3\), uz kura Kims un Māris spēlē spēli. Sākumā Kima kauliņš \(K\) atrodas taisnstūra kreisajā rūtiņā un Māra kaulinš̌ \(M\) atrodas taisnstūra labajā rūtiṇā (skat. 6. att.). Vienā gājienā spēlētājs var pārvietot savu kauliņu 1 vai 2 rūtiṇas otra spēlētāja virzienā, ja atbilstošā rūtina (rūtiņas) ir tukša (nedrīkst uzkāpt uz vai veikt "lēcienu" pāri otra spēlētāja kauliṇam). Spēli sāk Kims un spēlētāji gājienus veic pamīšus. Ja spēlētājs nevar veikt gājienu, tad viņš zaudē. Kādām \(n\) vērtībām, pareizi spēlējot, vienmēr var uzvarēt Kims, un kādām \(n\) vērtībām, pareizi spēlējot, vienmēr var uzvarēt Māris?

Uz trijstūra \(ABC\) malām \(AC\) un \(BC\) ir atlikti attiecīgi punkti \(F\) un \(E\) tā, ka \(2CF = FA\) un \(2CE = EB\). Ārpus trijstūra \(ABC\) uz stariem \(AE\) un \(BF\) ir atlikti attiecīgi punkti \(K\) un \(L\) tā, ka \(2KE = EA\) un \(2LF=FB\). Pierādīt, ka \(ABKL\) ir paralelograms!

Dots kvadrāts ar izmēriem \(8 \times 8\) rūtiṇas. Iekrāso 9 taisnstūrus ar izmēriem \(1 \times 2\) rūtinas tā, lai no dotā kvadrāta nevarētu izgriezt nevienu kvadrātu ar izmēriem \(2 \times 2\) rūtiṇas, kam visas rūtiṇas ir neiekrāsotas!

Dots kvadrāts ar izmēriem \(5 \times 5\) rūtiņas. Vai var iekrāsot (A) \(8\) rūtinas, (B) \(7\) rūtiṇas tā, lai no dotā kvadrāta nevarētu izgriezt nevienu 11. att. redzamo figūru, kurai visas rūtiṇas ir neiekrāsotas?

Uz trijstūra \(ABC\) malas \(AC\) atzīmēts punkts \(M\), bet uz malas \(AB\) atzīmēts punkts \(N\) tā, ka \(\sphericalangle BNC = 4x\), \(\sphericalangle BCN = 6x\) un \(\sphericalangle BMC = \sphericalangle CBM = 5x\). Pierādīt, ka trijstūra \(ABC\) divi leņk̦i ir vienādi!

Trīs naturālus skaitlus \(A, B\) un \(C\) saista sakarības: \(A<B<C\) un \(C-B=B-A\). Skaitḷu \(A, B\) un \(C\) pierakstā kopā ir izmantoti tieši desmit cipari, kas visi ir savā starpā atškirīgi. Vai ir iespējams, ka skaitlis \(A\) ir (A) divciparu skaitlis; (B) viencipara skaitlis?