Bezgalīgā naturālu skaitļu virknē katru locekli, sākot no otrā, iegūst, pieskaitot iepriekšējam loceklim tā lielāko ciparu. Piemēram, ja virknes pirmais loceklis ir \(13\), tad virkne ir \(13,16,22,24,28,36,\ldots\). Vai eksistē tāda virknes pirmā locekļa vērtība, ka visi virknes locekļi ir a) pāra skaitļi; b) nepāra skaitļi?

Kāda ir mazākā iespējamā ciparu summa sešciparu skaitlim, kas dalās ar \(99\)?

Parādi, kā \(5 \times 7\) rūtiņu taisnstūri var sagriezt vienā \(1 \times 3\) rūtiņu taisnstūrī (3. att.) un astoņās ”T” veida figūrās (4. att.), abu veidu figūras var būt arī pagrieztas.

Ilmārs grib uznest augšā uz dzīvokli \(150\) kg ķirbju. Zināms, ka katrs ķirbis sver ne vairāk kā \(10\) kg. Vienā reizē viņš var uznest patvaļīgu daudzumu ķirbju, kas kopā sver ne vairāk kā \(30\) kg. Kāds ir mazākais reižu skaits, ar kuru Ilmārs noteikti var uznest visus ķirbjus (neatkarīgi no to svara)? Griezt gabalos ķirbjus nedrīkst!

Uz vienādsānu trijstūra \(ABC\) sānu malām \(AB\) un \(BC\) izvēlēti attiecīgi punkti \(M\) un \(K\) tā, ka nogriežņi \(AK\) un \(MC\) ir perpendikulāri un \(AM=AK=AC\). Aprēķini trijstūra \(ABC\) leņķus.

Uz tāfeles uzrakstīti \(2025\) dažādi naturāli skaitļi. Reizi minūtē Elīna izvēlas jebkurus divus no tiem, apzīmēsim tos ar \(a\) un \(b\), tos nodzēš un to vietā uzraksta skaitļus \(LKD(a,b)\) un \(MKD(a,b)\). Pierādīt, ka noteikti (neatkarīgi no tā, kurus skaitļus Elīna izvēlas) pienāks tāds brīdis, kad viņa uzrakstīs uz tāfeles tos pašus skaitļus, ko nodzēsusi (tajā pašā gājienā).

Piezīme: ar \(LKD(x,y)\) un \(MKD(x,y)\) apzīmē attiecīgi skaitļu \(x\) un \(y\) lielāko kopīgo dalītāju un mazāko kopīgo dalāmo.

Cik dažādos veidos skaitli \(12\) var izteikt kā vieninieku, divnieku un četrinieku summu? Veidi, kas atšķiras ar saskaitāmo secību, ir uzskatāmi par dažādiem. Piemēram, skaitli \(4\) var izteikt sešos dažādos veidos: \(1+1+1+1=1+1+2=1+2+1=2+1+1=2+2=4\).

Ieraksti burtu un zvaigznīšu vietā ciparus tā, lai būtu pareizs reizināšanas piemērs. Vienādu burtu vietā jābūt vienādiem cipariem, bet dažādu burtu vietā jābūt dažādiem. Zvaigznīšu vietā var būt patvaļīgi cipari, var būt arī kādi no tiem, kas ierakstīti burtu vietās. Neviens no cipariem (ne burtu, ne zvaigznīšu vietās) nedrīkst būt \(0\). Burti ”a” un ”ā” apzīmē dažādus ciparus. Pietiek parādīt vienu veidu, kā to izdarīt.

Vai eksistē pirmskaitlis \(p\), kuram \(p \times p\) rūtiņu kvadrātu, griežot pa rūtiņu līnijām, var sagriezt tādos mazākos kvadrātos, ka katram no tiem mala ir vismaz \(2\) rūtiņas gara?

Doti divi dažādi naturāli skaitļi \(a\) un \(b\). Pierādīt, ka

\[ \frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2+\frac{1}{ab}. \]

Parādi, kā \(9 \times 11\) rūtiņu taisnstūri var sagriezt vienā \(1 \times 3\) rūtiņu taisnstūrī (11. att.) un \(24\) ”T” veida figūrās (12. att.). Abu veidu figūras var būt arī pagrieztas.

Parādi, kā var \(3 \times 3\) rūtiņu kvadrātu sagriezt \(3\) dažādos gabalos (griežot pa rūtiņu līnijām) tā, lai katri divi no iegūtajiem gabaliem (nekur tos nepārvietojot) kopā veidotu simetrisku figūru. Katram gabalam jāpieskaras pie vismaz vienas kvadrāta malas (t.i. gabals nevar sastāvēt tikai no centrālās rūtiņas). Figūra ir simetriska, ja to var pārlocīt uz pusēm tā, ka abas puses sakrīt. Figūras (gabali) ir dažādas, ja, pārbīdot vai ”apmetot otrādi”, tās nevar uzlikt vienu uz otras tā, ka tās sakrīt.

Ieraksti 1. att. aplīšos skaitļus no \(1\) līdz \(12\), katrā aplītī citu skaitli, tā, lai uz katras sešstūra malas esošo trīs skaitļu summa būtu viena un tā pati. Pietiek parādīt vienu veidu, kā to izdarīt.

Katrs no \(7\) votivapām zina dažus pantiņus no votivapu himnas. Zināms, ka jebkuri \(3\) votivapas kopā var to nodziedāt (tie kopā zina visus pantiņus). Vai noteikti var atrast divus votivapas, kas divatā var nodziedāt votivapu himnu, ja tajā ir (A) \(20\) (B) \(21\) pantiņi?

Atrodiet divus dažādus naturālu skaitļu trijniekus \((a,b,c)\), kuriem \(a<b<c\) un

\[ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{4}{2025}. \]

Regulāra \(9\)-stūra virsotnēs un malu viduspunktos ierakstīti naturālie skaitļi no \(1\) līdz \(18\) (katrs skaitlis izmantots tieši vienu reizi) tā, ka skaitļu summa uz katras tā malas ir viena un tā pati (uz katras malas atrodas \(3\) skaitļi, divi virsotnēs un viens tās viduspunktā). Kāda ir mazākā iespējamā šīs summas vērtība?

Doti kvadrāti \(ABCD\) un \(BCEF\) (\(BC\) tiem ir kopīga mala), punkts \(M\) ir malas \(EF\) viduspunkts. Kādā garumu attiecībā taisne \(AC\) sadala nogriezni \(MD\)?

Atrisināt reālos skaitļos vienādojumu

\[ x\cdot\left(5\sqrt{x^2-1}+7\sqrt{x+1}\right)=-2. \]

Kāda ir mazākā iespējamā ciparu summa sešciparu skaitlim, kas dalās ar \(24\)?

Profesors Cipariņš uz tāfeles uzrakstīja divus septiņciparu skaitļus. Katru ciparu šajos skaitļos viņš aizstāja ar kādu burtu, vienādus ciparus ar vienādiem burtiem, dažādus ciparus ar dažādiem burtiem. Zināms, ka viens no uzrakstītajiem skaitļiem PLATONS dalās ar \(45\). Pierādi, ka otrs uzrakstītais skaitlis SOKRATS nedalās ar \(54\).

Bezgalīgā naturālu skaitļu virknē \(24,69,21,18,\ldots\) katru skaitli, sākot no trešā, var iegūt, saskaitot divu iepriekšējo skaitļu ciparu summas. Aprēķināt šīs virknes \(2025\). locekli.

Uz trijstūra \(ABC\) malas \(AC\) izvēlēts tāds punkts \(D\), ka trijstūra \(ABD\) mediāna \(AM\) ir paralēla trijstūra \(DBC\) mediānai \(DN\). Aprēķiniet attiecību \(\frac{AD}{DC}\).

Katrs no \(7\) šillišallām zina dažus pantiņus no šillišallu himnas. Zināms, ka jebkuri \(4\) no viņiem kopā var to nodziedāt (tie kopā zina visus pantiņus). Vai noteikti var atrast trīs šillišallas, kas kopā var nodziedāt šillišallu himnu, ja tajā ir (A) \(34\) (B) \(35\) pantiņi?

LAPSA un SPALS ir divi piecciparu skaitļi, kuros cipari aizstāti ar burtiem, vienādi cipari ar vienādiem burtiem, bet dažādi cipari — ar dažādiem. Zināms, ka abi šie skaitļi dalās ar \(9\). Pierādi, ka tieši viens no tiem dalās ar \(15\). Kurš tas ir?

Pierādīt, ka jebkuram naturālam skaitlim \(k\) var atrast tādus naturālus skaitļus \(a\) un \(b\), ka \(a!\) dalās ar \(b\), \(b!\) dalās ar \(a\) un \(a-b=k\).

Piezīme: naturāla skaitļa \(n\) faktoriāls \(n!\) ir visu naturālo skaitļu no \(1\) līdz \(n\) ieskaitot reizinājums: \(n!=1\cdot 2\cdot \ldots \cdot n\). Piemēram, \(4!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4=24\).

Ilmārs grib uznest augšā uz dzīvokli \(255\) kg ķirbju. Zināms, ka katrs ķirbis sver ne vairāk kā \(10\) kg. Vienā reizē viņš var uznest patvaļīgu daudzumu ķirbju, kas kopā sver ne vairāk kā \(30\) kg. Kāds ir mazākais reižu skaits, ar kuru Ilmārs noteikti var uznest visus ķirbjus (neatkarīgi no to svara)? Ķirbjus griezt gabalos nedrīkst!

Sākumā \(3 \times 3\) rūtiņu tabula katrā rūtiņā ir ierakstīta nulle. Vienā gājienā Raitis izvēlas jebkuru \(2 \times 2\) rūtiņu kvadrātu un visiem četriem tajā esošajiem skaitļiem pieskaita \(1\). Pēc vairākiem šādiem gājieniem viņš rūpīgi aplūkoja iegūtos \(9\) skaitļus. Vai var gadīties, ka tieši \(8\) no tiem ir pirmskaitļi? Vai var gadīties, ka visi \(9\) ir pirmskaitļi?

Sākumā vienā rindā uz galda ir novietotas \(12\) glāzes ar limonādi. Indriķis un Oto pēc kārtas izdara gājienus, Indriķis sāk. Vienā gājienā var vai nu izdzert jebkuru vienu glāzi, vai arī izdzert divas blakusstāvošas glāzes. Pēc izdzēršanas tukšās glāzes (glāze) tiek noliktas atpakaļ vietā. Uzvar tas spēlētājs, pēc kura gājiena visas glāzes ir tukšas. Kurš no spēlētājiem, Indriķis vai Oto, vienmēr var uzvarēt, pareizi spēlējot?

Zināms, ka \(3546\). gadā no Saturna kosmiskās stacijas startēja tieši par \(5\%\) starpplanētu lidojumu vairāk nekā \(3545\). gadā. Arī nākamajos četros gados (no \(3547\). līdz \(3550\). gadam) starpplanētu lidojumu skaits no tās ar katru gadu pieauga. Precīzs šī pieauguma lielums procentos (attiecībā pret iepriekšējo gadu) par aplūkojamo piecu gadu periodu (no \(3546\). līdz \(3550\). gadam) redzams 1. tabulā. Cik starpplanētu lidojumu no Saturna kosmiskās stacijas startēja \(3550\). gadā, ja zināms, ka \(3545\). gadā to bija ne vairāk kā miljons?

1. tabula

Doti tādi naturāli skaitļi \(x\) un \(y\), ka \(x+2y+1\) ir pirmskaitlis. Pierādīt, ka \(x^2+2xy-2y\) nevar būt naturāla skaitļa kvadrāts.

Trijstūrī \(ABC\) novilkts augstums \(BD\) un mediāna \(BE\), zināms, ka punkts \(D\) atrodas starp \(C\) un \(E\). Zināms arī, ka \(\angle ABE=\angle CBD=23^\circ\). Aprēķināt \(\angle DBE\) lielumu grādos!

Zināms, ka \(2786\). gadā no Marsa centrālā pasta tika nosūtīts tieši par \(10\%\) telegrammu vairāk nekā \(2785\). gadā. Arī nākamajos trijos gados (no \(2787\). līdz \(2789\). gadam) katru gadu no tā tika nosūtīts tieši par \(10\%\) vairāk telegrammu nekā iepriekšējā gadā. Cik telegrammu tika nosūtīts no Marsa centrālā pasta \(2789\). gadā, ja zināms, ka \(2785\). gadā no tā tika nosūtīts ne vairāk kā \(15000\) telegrammu?

Vai eksistē pirmskaitlis \(p\), kuram \(p \times p\) rūtiņu kvadrātu, griežot pa rūtiņu līnijām, var sagriezt tādos mazākos kvadrātos, ka jebkuram no tiem malas garums (rūtiņās) arī ir pirmskaitlis?

Cik ir tādu sešciparu skaitļu, kas nesatur nevienu no cipariem \(5,6,7,8,9,0\) un kuros nekur blakus neatrodas divi cipari \(4\)?

Parādi, kā skaitli \(2025\) var izteikt ar \(9\) vieniniekiem, pēc vajadzības lietojot aritmētisko darbību zīmes, kāpināšanu un iekavas. Drīkst starp vieniniekiem nelikt arī nekādas zīmes (tādā veidā iegūstot skaitļus \(11\), \(111\) utt.). Ja neizdodas ar \(9\) vieniniekiem, tad parādi ar pēc iespējas mazāku vieninieku skaitu, ar kādu izdodas.

Ieraksti 9. att. aplīšos skaitļus no \(1\) līdz \(14\), katrā aplītī citu skaitli, tā, lai uz katras septiņstūra malas esošo trīs skaitļu summa būtu viena un tā pati. Pietiek parādīt vienu veidu, kā to izdarīt.

Ieraksti burtu vietā ciparus tā, lai būtu pareizs saskaitīšanas piemērs, vienādu burtu vietā būtu vienādi cipari, bet dažādu burtu vietā būtu dažādi cipari. Burti ”a” un ”ā” apzīmē dažādus ciparus. Pietiek parādīt vienu veidu, kā to izdarīt. Atceries, ka skaitlis nevar sākties ar nulli!

Kādas ielas vienā pusē rindā stāv piecas mājas. Katrā mājā dzīvo vismaz divi cilvēki. Zināms arī, ka nav tādu divu māju, kurās dzīvotu vienāds skaits cilvēku.

Par cilvēka kaimiņiem sauksim tos cilvēkus, kuri dzīvo vai nu ar viņu vienā mājā, vai arī blakus mājās. Vai iespējams, ka katram cilvēkam ir vai nu tieši \(20\), vai arī tieši \(30\) kaimiņi?

Bezgalīgā veselu skaitļu virknē \(1,2,3,6,1,\ldots\) katrs loceklis, sākot ar ceturto, ir iepriekšējo \(3\) locekļu summas kvadrāta pēdējais cipars. Aprēķiniet šīs virknes \(2025\). locekli.