Sākums > Olimpiādes > LV.VOL.2024
Atrast lielāko reālo skaitli \(A\) ar īpašību, ka \(3x^2 + y^2 + 1 \geq A(x^2 + xy + x)\) visiem reāliem skaitļiem \(x\) un \(y\).
Atrisināt reālos skaitļos vienādojumu sistēmu
\[\left\{ \begin{array}{l} x + \frac{1}{x} = y+z\\ y + \frac{1}{y} = x+z\\ z + \frac{1}{z} = x+y\\ \end{array} \right.\]
Tabulā ar izmēriem \(9 \times 9\) rūtiņas dažas rūtiņas ir iekrāsotas, bet pārējās ir neiekrāsotas. Rūtiņu iekrāsošanai izmanto šādus gājienus: ja kādā rindā, kolonnā vai uz kādas no divām galvenajām diagonālēm ir iekrāsotas vismaz trīs rūtiņas, tad vienā gājienā var iekrāsot visas atlikušās šīs rindas, kolonnas vai diagonāles rūtiņas. Kāds ir mazākais iespējamais sākumā iekrāsoto rūtiņu skaits, pie kura var gadīties, ka ar aprakstītajiem gājieniem var iekrāsot visas tabulas rūtiņas?
Profesors Cipariņš iedomājās naturālu skaitli \(n\) un uz tāfeles vienu aiz otra bez atstarpes uzrakstīja skaitļus \(2^n\) un \(14^n\) (tieši šādā secībā), uzrakstīto skaitli apzīmēsim ar \(C\) (piemēram, ja \(n=2\), tad \(C = 4196\)). Vai iespējams, ka skaitlis \(C-1\) ir pirmskaitlis?
Datorklasē ir \(n\) (\(n \geq 3\)) datori, daži no tiem ir savienoti savā starpā. Ik pa brīdim kāds no datoriem, kurš pirms tam vēl neko nav sūtījis, nosūta ziņojumu visiem datoriem, ar ko tas ir savienots. Pierādīt, ka jebkurā laika brīdī var atrast divus datorus, kuri ir saņēmuši vienādu ziņojumu skaitu!
Skolas 10. klašu olimpiādē piedalījās 10.a un 10.b klases skolēni. Pirmo reizi saskaitot rezultātus, tika noskaidrots, ka 10.a klases skolēnu vidējais rezultāts ir \(37\) punkti, bet 10.b klases skolēnu vidējais rezultāts ir \(11\) punkti. Pārskatot darbus, atklājās, ka viens skolēna darbs bija pielikts pie nepareizās klases. Pārrēķinot vidējo rezultātu, izrādījās, ka abās klasēs tas ir palielinājies tieši par \(1\) punktu (un tagad ir attiecīgi \(38\) un \(12\) punkti). Cik skolēnu kopā piedalījās šajā olimpiādē?
Taisnstūrī \(ABCD\) uz malas \(BC\) atlikts punkts \(E\). Nogrieznis \(AE\) krusto taisnstūra diagonāli \(BD\) punktā \(O\). Taisne, kas novilkta caur punktu \(O\) paralēli \(BC\), krusto malas \(AB\) un \(CD\) attiecīgi punktos \(F\) un \(G\). Zināms, ka trijstūra \(BOF\) laukums ir \(4\), bet trijstūra \(AOD\) laukums ir \(63\). Aprēķināt četrstūra \(OECG\) laukumu!
Dots izliekts četrstūris \(ABCD\), kuram \(AB=BC=CD\). Četrstūra diagonāles krustojas punktā \(E\), bet leņķu \(BAD\) un \(ADC\) bisektrises krustojas punktā \(F\). Pierādīt, ka \(\sphericalangle EAF = \sphericalangle EDF\).
Vai eksistē \(5\) dažādi naturāli skaitļi ar īpašību, ka to vidējais aritmētiskais ir: (A) tieši \(3\) reizes lielāks; (B) tieši \(2\) reizes lielāks nekā visu šo skaitļu lielākais kopīgais dalītājs?
Uz dažādmalu trijstūra \(ABC\) malām \(AB\) un \(AC\) attiecīgi izvēlēti tādi punkti \(D\) un \(E\), ka \(BD = CE\). Trijstūriem \(ABE\) un \(ACD\) apvilktās riņķa līnijas krustojas vēl arī punktā \(T\). Pierādīt, ka \(AT\) ir leņķa \(BAC\) bisektrise!
Vai var izvēlēties (A) \(50\); (B) \(51\) tādus dažādus naturālus skaitļus, kas nepārsniedz \(100\), lai jebkuriem diviem izvēlētajiem skaitļiem to starpība (no lielākā skaitļa atņemot mazāko) nebūtu vienāda ar to lielāko kopīgo dalītāju?
Uz tāfeles uzrakstīta izteiksme \(\overline{abc} \cdot \overline{def} \cdot \overline{ghi} \cdot \overline{jkl}\), kas ir četru trīsciparu skaitļu reizinājums. Katrā gājienā Gustavs izvēlas kādu nenulles ciparu un Maruta to ieraksta kāda burta vietā (Gustavs redz, kurā). Pierādīt, ka Maruta vienmēr var panākt, ka pēc \(12\) gājieniem iegūtās izteiksmes vērtība dalās ar \(9\).
Atrisināt reālos skaitļos vienādojumu sistēmu
\[\left\{ \begin{array}{l} x + \frac{1}{x} = 2y^2 \\ y + \frac{1}{y} = 2z^2 \\ z + \frac{1}{z} = 2x^2 \\ \end{array} \right.\]
Kims grib naturālos skaitļus no \(1\) līdz \(2024\) uzrakstīt pa apli tā, ka katrs skaitlis ir uzrakstīts tieši vienu reizi un katriem trīs pēc kārtas uzrakstītiem skaitļiem \(a,b,c\) izpildās īpašība, ka skaitlis \(a + c\) dalās ar \(b+1\). Vai Kims to var izdarīt?
Datorklasē ir \(n\) (\(n \geq 3\)) datori, daži no tiem ir savienoti savā starpā. Ik pa brīdim kāds no datoriem, kurš pirms tam vēl neko nav sūtījis, nosūta ziņojumu visiem datoriem, ar ko tas ir savienots. Pierādīt, ka jebkurā laika brīdī var atrast divus datorus, kuri ir saņēmuši vienādu ziņojumu skaitu!
Dots naturāls skaitlis \(n\), ar \(M\) apzīmēsim pirmo \(2n\) naturālo skaitļu kopu \(M = \{1; 2; 3; \ldots ; 2n\}\). Divi spēlētāji \(A\) un \(B\) spēlē spēli. Katrā gājienā vispirms spēlētājs \(A\) no kopas \(M\) izvēlas skaitli \(a\), pēc tam spēlētājs \(B\) no kopas \(M\) izvēlas skaitli \(b\), turklāt skaitļi \(a\) un \(b\) nav vienādi un nesakrīt ne ar vienu no iepriekš izvēlētajiem skaitļiem. Gājiena beigās tiek izveidota kvadrātfunkcija \(y = x^2 - ax + b\) un uzrakstīta uz lapas. Pēc \(n\) gājieniem ir izvēlēti visi skaitļi no kopas \(M\) un iegūtas \(n\) kvadrātfunkcijas. Tālāk tiek aplūkoti visi iespējamie šo kvadrātfunkciju pāri. Katram pārim tiek aprēķinātas to grafiku visu krustpunktu \(y\) koordinātas, visas šādi iegūtās \(y\) koordinātas tiek saskaitītas. Pierādīt, ka spēlētājs \(B\) var panākt, lai iegūtā summa būtu tieši \(n^3 - n\).
Uz galda traukā ir \(200\) konfektes. Brālītis un Karlsons pēc kārtas izdara gājienus, Brālītis sāk. Vienā gājienā var paņemt no trauka un apēst vai nu vienu, vai divas konfektes. Uzvar tas spēlētājs, kurš apēd pēdējo konfekti. Kurš uzvarēs pareizi spēlējot, ja papildus zināms, ka katrs no viņiem var apēst ne vairāk kā (A) \(140\); (B) \(110\) konfektes? (Gadījumā, ja spēlētājs vairs nevar izdarīt gājienu, viņš zaudē).
Atrast visus reālu skaitļu pārus \((a;b)\), kuriem ir spēkā nevienādība:
\[4a + 4b^2 + \sqrt{4a - 4b^2 - 1} \leq 1.\]
Taisnstūrī \(ABCD\) uz malas \(BC\) atlikts punkts \(E\). Nogrieznis \(AE\) krusto taisnstūra diagonāli \(BD\) punktā \(O\). Taisne, kas novilkta caur punktu \(O\) paralēli \(BC\), krusto malas \(AB\) un \(CD\) attiecīgi punktos \(F\) un \(G\). Zināms, ka trijstūra \(BOF\) laukums ir \(4\), bet trijstūra \(AOD\) laukums ir \(63\). Aprēķināt četrstūra \(OECG\) laukumu!