Ja automātā iemet divus vienādus žetonus, tad tas izdod vienu zaļu žetonu, bet, ja iemet divus dažādus žetonus, tad tas izdod vienu dzeltenu žetonu. Sākumā Dagmārai bija \(20\) dzelteni un \(15\) zaḷi žetoni. Vai iespējams, ka pēc atkārtotas automāta izmantošanas viṇai palika:
(A) divi zaļi un viens dzeltens žetons,
(B) divi dzelteni un viens zaļš žetons?

Taisnstūrī ar izmēriem \(8 \times 10\) rūtiṇas sākotnēji katrā rūtināa atradās tieši viena varde. Vienā brīdī katra varde pārlēca uz kādu no blakus rūtinām (katra varde pārlēca tieši vienu reizi). Vai var gadīties, ka tagad visas vardes atrodas tieši: (A) \(24\) rūtiņās; (B) \(23\) rūtiṇās?
Piezīme. Divas rūtiṇas sauc par blakus rūtiṇām, ja tām ir kopīga mala.

Parādi vienu veidu, kādu ciparu var ierakstīt katrā aplītī, lai iegūtu patiesu vienādību, visi seši ierakstītie cipari būtu dažādi un neviens no tiem nebūtu \(3\).

Vai iespējams, sareizinot sešus dažādus pirmskaiț̣us, iegūt sešciparu skaitli, kam visi cipari ir vienādi?

Dots kvadrāts ar izmēriem \(6 \times 6\) rūtiṇas, kurā dažas rūtiṇas atzīmētas ar "\(o\)" un "\(x\) " (skat. 3. att.). Parādi, kā šo kvadrātu sagriezt pa rūtiṇu līnijām četrās vienādās daļās tā, lai katra dạla saturētu vienu rūtiṇu, kurā ierakstīts "\(o\)", un vienu rūtiṇu, kurā ierakstīts "\(x\)"!

Piezīme. Figūras ir vienādas, ja tās var uzlikt vienu uz otras tā, ka abas figūras sakrīt (figūras var pagriezt un apmest otrādi).

Vai var uzzīmēt tādu slēgtu lauztu līniju no (A) \(6\) posmiem, (B) \(7\) posmiem, kas katru savu posmu krusto tieši vienu reizi?

Piezīme. Par lauztu līniju sauc līniju, kas sastāv no galīga skaita taisnes nogriežṇiem, ko sauc par posmiem. Lauztu līniju, kuras galapunkti sakrīt, sauc par slēgtu lauztu līniju.

Uz rūtiņu lapas rūtinu krustpunktos atzīmēti \(16\) punkti (skat. 1. att.). Kāds mazākais skaits punktu jānodzēš, lai nekādi trīs no atlikušajiem punktiem neatrastos uz vienas taisnes?

Uz kvadrāta \(ABCD\) diagonāles \(BD\) atlikts punkts \(E\). Pierādīt, ka \(ED \cdot EB + EA \cdot EC = AB^{2}\)!

Pie lielas konfekšu kastes pienāk Māris un Kims. Viṇi abi pamǐšus ṇem no kastes konfektes, Māris sāk pirmais. Katrā gājienā spēlētājs var izvēlēties patvaļīgu pirmskaitli \(p\) un patvaļīgu veselu nenegatīvu skaitli \(n\) un paņemt no kastes \(p^{n}\) konfektes. Uzvar tas spēlētājs, pēc kura gājiena kaste paliek tukša. Spēli sāk Māris. Kurš spēlētājs, pareizi spēlējot, vienmēr var uzvarēt, ja sākumā kastē ir: (A) \(20\); (B) \(2024\) konfektes?

Dots izliekts četrstūris \(K L M N\). Zināms, ka \(\sphericalangle LKN = \sphericalangle MNK\) un malu \(K L\) un \(M N\) vidusperpendikulu krustpunkts \(X\) atrodas uz malas \(K N\). Pierādīt, ka \(K M=L N\)!

Konditorejā nopērkamas \(16\) tortes, to cena ir attiecīgi \(30; 31; 32; \ldots; 45\) eiro (katra torte ir tieši vienā eksemplārā). Konditorejā viens pēc otra iegriezās \(5\) gardēži, katrs no tiem nopirka sev dažas tortes, turklāt katrs iztērēja ne vairāk kā \(125\) eiro. Pierādīt, ka pēc gardēžu apmeklējuma vismaz viena torte vēl palika nenopirkta!

Dots naturāls skaitlis, kura cipari ir sakārtoti augošā secībā (katrs cipars, izṇemot pirmo, ir lielāks nekā tā kaimiṇš kreisajā pusē). Pierādīt, ka \(9\) reizes lielāka skaitļa ciparu summa ir \(9\).

Vai (A) 22. att., (B) 23. att. dotā kvadrāta rūtiṇās var ierakstīt deviṇus dažādus naturālus skaitlus tā, lai katrā rūtiņā būtu ierakstīts viens skaitlis un katrā rindā un katrā kolonnā skaitli pieaugtu bultiņas norādītajā virzienā?

Dotas divas riṇka līnijas \(\omega_{1}\) un \(\omega_{2}\), kas krustojas punktos \(X\) un \(Y\). Taisne \(t_{1}\), kas vilkta caur \(X\), krusto \(\omega_{1}\) un \(\omega_{2}\) attiecīgi punktos \(A\) un \(B\) (punkts \(X\) atrodas starp \(A\) un \(B\)), savukārt taisne \(t_{2}\), kas vilkta caur \(Y\), krusto \(\omega_{1}\) un \(\omega_{2}\) attiecīgi punktos \(C\) un \(D\) (punkts \(Y\) atrodas starp \(C\) un \(D\)). Pierādīt, ka \(AC\) ir paralēla ar \(BD\)!

Dots kvadrāts ar izmēriem \(6 \times 6\) rūtiṇas, kurā dažas rūtinas atzīmētas ar "\(o\)" un " \(x\) " (skat. 11. att.). Parādi, kā šo kvadrātu sagriezt pa rūtiṇu līnijām četrās vienādās dalās tā, lai katra daḷa saturētu vienu rūtiṇu, kurā ierakstīts "\(o\)", un vienu rūtinu, kurā ierakstīts "\(x\)"!

Piezīme. Figūras ir vienādas, ja tās var uzlikt vienu uz otras tā, ka abas figūras sakrīt (figūras var pagriezt un apmest otrādi).

Taisnlen̦ķa trijstūrī \(ABC\left(\sphericalangle ABC=90^{\circ}\right)\) uz malas \(BC\) atlikti punkti \(D\) un \(E\) tā, ka \(\sphericalangle BAD=\sphericalangle DAE, \sphericalangle EAC=2 \sphericalangle BAD\), \(BD=3\), \(DE=4\). Aprēķināt \(EC\) garumu!

No 15. att. un 16. att. figūrām, katru izmantojot vismaz vienu reizi, salikt taisnstūri, kurā 16. att. figūras nesaskaras ne ar malu, ne ar stūri! Figūras drīkst pagriezt.

Doti reāli skaiții \(x\) un \(y\), kuriem \(xy^{3}+1=x+y^{3}\). Pierādīt, ka \(y x^{3}+1=y+x^{3}\).

Pierādīt, ka \(\sqrt{17-12 \sqrt{2}}+\sqrt{3-2 \sqrt{2}}+\sqrt{3+2 \sqrt{2}}=3\).

Reāliem skaitliem \(x\) un \(y\) ir spēkā vienādība \(\frac{x+y}{x-y}+\frac{x-y}{x+y}=7\). Pierādīt, ka \(\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}-y^{2}}+\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}>\sqrt{14}\).

Katrā tukšajā aplîtī ierakstīt vienu darbību zīmi (\(+\),\(-\),\(\cdot\),\(:\)) tā, lai taisnstūros iegūtās izteiksmju vērtības būtu naturāli skaiți un visas sešas kopā saturētu visus ciparus no \(1\) līdz \(9\), katru ciparu tieši vienu reizi! (Iekavas lietot nedrīkst un jāievēro darbību secība.)

Reāliem skaitliem \(x\) un \(y\) ir spēkā vienādība: \(\frac{x+y}{x-y}+\frac{x-y}{x+y}=5\). Pierādīt, ka \(\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}-y^{2}}+\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}<3\).

No punkta \(A\), kas atrodas ārpus riṇķa līnijas ar centru \(O\), novilktas divas pieskares, kas pieskaras riṇka līnijai punktos \(D\) un \(E\). Uz taisnēm \(AD\) un \(AE\) atlikti attiecīgi punkti \(B\) un \(C\) tā, ka punkts \(D\) atrodas starp \(A\) un \(B\), punkts \(C\) atrodas starp \(A\) un \(E\) un \(OB = OC\). Pierādīt, ka punkti \(O\), \(A\), \(B\) un \(C\) atrodas uz vienas rinkta līnijas!

Konditorejā nopērkamas \(10\) tortes, to cena ir attiecīgi \(20\); \(21\); \(22\); \(23\); \(24\); \(25\); \(26\); \(27\); \(28\); \(29\) eiro (katra torte ir tieši vienā eksemplārā). Konditorejā viens pēc otra iegriezās \(3\) gardēži, katrs no tiem nopirka sev dažas tortes, turklāt katrs iztērēja ne vairāk kā \(85\) eiro. Pierādīt, ka pēc gardēžu apmeklējuma vismaz viena torte vēl palika nenopirkta!

Rindā uzrakstīti \(2024\) skaitli. Zināms, ka pirmais uzrakstītais skaitlis ir \(49\) un katru nākamo var iegūt, iepriekšējā skaiț̣a visu ciparu reizinājumam pieskaitot \(19\) (piemēram, otrais uzrakstītais skaitlis ir \(55\), jo \(4 \cdot 9+19=55\)). Kāds ir pēdējais uzrakstītais skaitlis?

Taisnstūrī ar izmēriem \(4 \times 6\) rūtinas sākotnēji katrā rūtịnā atradās tieši viens kaķis. Vienā brīdī katrs kaķis pārlēca uz kādu no blakus rūtiṇām (katrs kaķis pārlēca tieši vienu reizi). Vai var gadīties, ka tagad visi kaķi atrodas tieši: (A) \(8\) rūtiņās; (B) \(7\) rūtiṇās?

Piezīme. Divas rūtiņas sauc par blakus rūtiņām, ja tām ir kopīga mala.

Kāda lielākā ciparu summa var būt desmitciparu skaitlim, kas dalās ar \(18\)?

Pierādīt: ja \(a, b, c\) ir naturāli skaitli un \(a+\operatorname{LKD}(a, b)=b+\operatorname{LKD}(b, c)=c+\operatorname{LKD}(c, a)\), tad \(a=b=c\).

Piezîme. \(\operatorname{Ar} \operatorname{LKD}(a, b)\) ir apzīmēts skaitlu \(a\) un \(b\) lielākais kopīgais dalītājs.

Šaurleņķu trijstūra \(ABC\) malu garumi ir \(AB=7 \mathrm{~cm}\), \(AC=12 \mathrm{~cm}\) un \(BC=13 \mathrm{~cm}\). Pierādīt, ka uz malas \(AC\) var atrast tādus divus iekšējus punktus \(P\) un \(Q\), ka nogriežnu \(AP, AQ, BP\) un \(BQ\) garumi ir izsakāmi veselā skaitā centimetru!

Šaurlen̦ķu trijstūrī \(ABC\) novilkti augstumi \(AD, BE\) un \(CF\), kas krustojas punktā \(H\). Pierādīt, ka \(DH\) ir leṇka \(EDF\) bisektrise!

Kāds ir lielākais skaits 7. att. doto figūru, ko var izgriezt no 5.att. dotās figūras, ja jābūt izgrieztām arī tieši divām 6.att. figūrām?

Rindā uzrakstīti \(2024\) skaitli. Zināms, ka pirmais uzrakstītais skaitlis ir \(41\) un katru nākamo var iegūt, iepriekšējā skaitļa visu ciparu reizinājumam pieskaitot \(23\) (piemēram, otrais uzrakstītais skaitlis ir \(27\), jo \(4 \cdot 1+23=27\)). Kāds ir pēdējais uzrakstītais skaitlis?

Taisnleṇķa trijstūrī \(ABC\left(\sphericalangle ABC=90^{\circ}\right)\) uz malas \(BC\) atlikti punkti \(D\) un \(E\) tā, ka \(\sphericalangle EAC=\sphericalangle DAE=2 \sphericalangle BAD\), \(BD=1, DE=3\). Aprēķināt \(EC\) garumu!

Uz galda stāv \(n\) kastes, kurās ir āboli un bumbieri, katrā kastē ir vismaz viens ābols un vismaz viens bumbieris. Zināms, ka kastes var sakārtot rindā gan tā, ka katrā nākamajā kastē ir par vienu ābolu vairāk nekā iepriekšējā, gan tā, ka katrā nākamajā kastē ir par vienu bumbieri vairāk nekā iepriekšējā, gan tā, ka katrā nākamajā kastē ir par vienu augli vairāk nekā iepriekšējā. Vai iespējams, ka: (A) \(n=2024\); (B) \(n=2025\)?

Uz rūtiṇu lapas rūtịnu krustpunktos atzīmēti \(25\) punkti (skat. 19. att.). Kāds mazākais skaits punktu jānodzēš, lai nekādi trīs no atlikušajiem punktiem neatrastos uz vienas taisnes?

Piezīme. Ievēro, ka uz vienas taisnes atrodas ne tikai punkti, kas atrodas vienā rindā, kolonnā vai diagonālē, bet arī, piemēram, punkti \(A, B, C\) (skat. 20. att.)!

Atrast visus pirmskaitlu pārus \((p;q)\), kuriem izpildās vienādība \(p^{q}=q^{p}+7\).

Atrast visus tādus veselu skaitlu pārus \((a ; b)\), kuriem izpildās vienādība \((a+b)^{2}=a^{3}+b^{3}\).

Parādi vienu veidu, kādu ciparu var ierakstīt katrā aplītī, lai iegūtu patiesu vienādību, visi pieci ierakstītie cipari būtu dažādi un neviens no tiem nebūtu \(2\).

Vienādsānu trijstūrī \(ABC\) (\(AB=AC\)) uz malām \(BC\) un \(AC\) atlikti attiecīgi punkti \(D\) un \(E\) tā, lai \(AE=AD\) un \(\sphericalangle BAD=30^{\circ}\). Aprēk̄ināt leṇki \(CDE\).

Plaknē atlikti četri punkti \(A, B, C, D\). Zināms, ka \(AB=4\), \(BC=7\), \(CD=10\) un \(DA=3\). Kāds var būt nogriežņa \(AC\) garums, ja zināms, ka tas ir naturāls skaitlis?