Katrs no \(10\) rūķīšiem vienmēr saka patiesību vai vienmēr melo. Zināms, ka katram no rūķı̄šiem ir viena mīḷākā saldējuma garša - vaniḷas, šokolādes vai zemeņu. Sniegbaltīte lūdza pacelt roku tiem rūk̦iem, kam mīļākais ir vaniļas saldējums, un astoņi rūk̦iši pacēla savu roku. Tad viṇa prasīja par šokolādes saldējumu un puse pacēla savu roku. Kad jautāja par zemeņu saldējumu, tikai viens rūk̦ītis pacēla savu roku. Cik no šiem rūķiem vienmēr saka patiesību?

Uz riņk̦a līnijas ar centru \(O\) ir atlikti punkti \(A, B\) un \(C\) tā, lai punkts \(O\) atrastos trijstūrī \(ABC\). Pie tam zināms, ka \(\sphericalangle AOC=\alpha\), bet \(\sphericalangle OAB=\beta\). Izteikt leņķi \(\sphericalangle BCO\) ar \(\alpha\) un \(\beta\)!

Dotas piecas smagas kastes un tās izkārtotas, kā tas redzams 12. att. Šīs kastes var pārvietot tikai pagriežot par 90 grādiem ap kādu no kastes stūriem. Kastes nav iespējams pārvietot citām kastēm virsū. Pēc vairākiem šādiem pārvietojumiem šīs kastes tika izkārtotas, kā tas redzams 13. att. Kuras no šīm kastēm varēja sākotnēji atrasties 12. att. izkārtojuma centrā? Piemēru, kā kasti var pārvietot ap vienu stūri divos dažādos veidos skatīt 14. att.

Andris aizmirsa mājās pulksteni. Autobusa pieturā viņš pamanīja stāvam 4 cilvēkus. Katram no tiem Andris pajautāja: "Sakiet, cik ir pulkstenis?". Atbildes bija šādas:
A: "Bez 6 minūtēm trīs."
C: "3 minūtes pāri trijiem."
B: "Bez 3 minūtēm trīs."
D: "2 minūtes pāri trijiem."

Izrādījās, ka nevienam no šiem cilvēkiem pulkstenis nerāda pareizu laiku. Pie tam, viena pulksteņa rādītais laiks atšķiras no patiesā laika par 2 minūtēm, otrā - par 3 minūtēm, trešā - par 4 minūtēm, ceturtā - par 5 minūtēm (nav zināms, kurš pulkstenis kavējas, kurš steidzas). Cik patiesībā bija pulkstenis? Atbildi pamato!

Jurģis Mik̦eļdienas tirgū ar izlozes palīdzību izdalīja \(11\) balvas. Katra balva satur \(6\) rudens labumus: ābolus, bumbierus un bietes. Pie tam zināms, ka katra balva satur vismaz vienu ābolu, bumbieri un bieti. Pamatot, ka noteikti tika izdalītas divas tādas balvas, kurām bija vienāds saturs.

Dots kvadrāts ar izmēriem \(10 \times 10\) rūtiņas. Kāds ir lielākais skaits 9. att. redzamo figūru, kuras var izgriezt no šī kvadrāta, ja griezuma līnijām jāiet pa rūtiņu līnijām? Figūras drīkst būt pagrieztas.

Dots trijstūris, kura malu garumi ir \(a, b\) un \(c\). Pierādīt, ka ir spēkā nevienādība

\[\frac{a^{2}+2bc}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b^{2}+2ac}{a^{2}+c^{2}}+\frac{c^{2}+2ab}{a^{2}+b^{2}}>3.\]

Skaitḷu virknes pirmais loceklis ir \(12\). Katru nākamo iegūst iepriekšējo vai nu reizinot ar \(2\) vai \(3\), vai arī izdalot ar \(2\) vai \(3\) (ja tas dalās bez atlikuma). Vai šīs skaitļu virknes 61.loceklis var būt skaitlis \(54\)?

Šaha festivālā piedalījās \(64\) dalībnieki. Zināms, ka festivāla laikā katrs dalībnieks izspēlēja tieši \(12\) partijas, neviens neuzvarēja visās \(12\) partijās, bet katrs uzvarēja vismaz vienā partijā. Katrā partijā uzvarētājs saņēma vienu punktu, zaudētājs \(0\) punktus, bet, ja partija beidzās neizšk̦irti, tad abi spēlētāji saņēma puspunktu. Vai var droši apgalvot, ka festivāla beigās bija vismaz (A) \(3\); (B) \(4\) dalībnieki ar vienādu punktu skaitu?

Doti 15 trīsciparu skaitļi. Pamatot, ka no šiem skaitļiem var atrast vai nu divus tādus, kuru ciparu summa sakrīt, vai arī divus tādus, kuru ciparu summu summa ir vienāda ar \(28\).

Anniņa uz tāfeles uzrakstīja \(n\) dažādus naturālus skaitļus un katram uzrakstīto skaitļu pārim aprēk̦ināja to summu. Apskatot šīs summas, izrādījās, ka katrs cipars no \(0\) līdz \(9\) parādās vismaz vienā no summām kā pēdējais cipars. Kāda ir mazākā iespējamā \(n\) vērtība?

Režģa (skatīt 1. att.) katrā rūtiņā ieraksti vienu ciparu no 1 līdz 5. Katrā rindā un katrā kolonnā jābūt ierakstītiem visiem skaitļiem no \(1\) līdz \(5\). Katrā ar tumšu līniju atdalītajā figūrā, kas satur divas vai trīs rūtiņas, ir dots skaitlis un darbību zīme. Ar šīs figūras rūtiņās ierakstītajiem skaitļiem, veicot doto darbību, jāiegūst dotais skaitlis. Pietiek parādīt vienu piemēru, kā to izdarīt. Trijās ar tumšu līniju apvilktajās rūtiņās skaitḷi jau ir ierakstīti.

Piemēram, augšējā kreisā stūra figūrā "\(2-\)" nozīmē, ka abu ierakstīto skaitļu starpība (no lielākā atņemot mazāko) ir \(2\).

Katrs no \(28\) klases skolēniem kontroldarbā saņēma atzīmi, kas ir vesels skaitlis robežās no \(0\) līdz \(10\) ballēm. Pamatot, ka vai nu vismaz \(4\) skolēniem ir vienāda atzīme, vai arī vismaz \(4\) skolēni ieguva atzīmi, kas ir augstāka nekā \(7\).

Dots trijstūris, kura malu garumi ir \(a, b\) un \(c\). Pamatot, ka ir spēkā nevienādība

\[a+b+c > \sqrt{2\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)}.\]

Kvadrāta \(ABCD\) iekšienē atlikts punkts \(E\) tā, ka \(\sphericalangle CBE=15^{\circ}\) un \(AE=ED\). Pamatot, ka trijstūris \(AED\) ir vienādmalu.

Kastē ir \(14\) violetas, \(18\) brūnas, \(4\) oranžas un \(19\) dzeltenas bumbiņas. Anna no kastes izvilka \(9\) bumbiņas.
(A) Vai var apgalvot, ka tieši piecas no izvilktajām bumbiņām ir dzeltenas?
(B) Vai Anna noteikti izvilka vismaz trīs vienādas krāsas bumbiņas?
(C) Kāds mazākais skaits bumbiņu Annai vēl ir jāizvelk no kastes, lai varētu apgalvot, ka kopumā Annai vismaz sešas no bumbiņām ir vienā krāsā?

Anita, Maija, Ināra un Sandra uzstājās koncertā. Katru dziesmu dziedāja 3 meitenes. Cik dziesmu meitenes nodziedāja pavisam, ja Anita dziedāja 7 dziesmas (vairāk nekā jebkura cita meitene), bet Sandra dziedāja 4 dziesmas (mazāk nekā jebkura cita meitene)?

Uz tāfeles uzrakstīts četrciparu skaitlis, kuram neviens cipars nav nulle. Zināms, ka, ja nodzēš jebkuru tā ciparu, tad atlikušais trīsciparu skaitlis nedalās ar \(3\). Pierādīt, ka var nodzēst divus tā ciparus tā, ka atlikušais divciparu skaitlis dalās ar \(3\).

Ingai ir tālrunis ar šādu pogu izkārtojumu:

Viṇas draudzenes Zanes deviņciparu tālruņa numuram ir šādas īpašības:

• visi Zanes tālruņa numura cipari ir atšk̦irīgi;
• pirmie četri cipari ir sakārtoti augošā secībā un to attiecīgo pogu centri veido kvadrātu;
• pēdējo četru ciparu pogu centri arı̄ veido kvadrātu;
• Zanes tālruņa numurs dalās ar \(15\).

Cik ir tādu deviņciparu tālruņa numuru, kas varētu būt Zanes tālruņa numurs?

Dots \(7 \times 9\) rūtiņu taisnstūris. Vai tajā var ievietot deviņas 3. att. redzamās figūras? Figūras drīkst pagriezt un apmest otrādi, bet tās nevar pārklāties viena ar otru vai iziet ārpus taisnstūra.

Uz paralelograma \(ABCD\) malām \(BC\) un \(CD\) atzīmēti attiecīgi punkti \(E\) un \(F\). Nogriežņu \(AE\) un \(BF\) krustpunkts ir \(G\), nogriežņu \(AF\) un \(ED\) krustpunkts ir \(I\), bet \(BF\) un \(ED\) krustpunkts ir \(H\). Pamatot, ka \(S_{AGHI} = S_{BEG}+S_{CEHF}+S_{DFI}\).

Kastē ir \(7\) zal̦as, \(3\) sarkanas, \(11\) melnas un \(9\) baltas bumbiņas. Kāds ir mazākais skaits bumbiņu, kas Aleksandram jāizvelk no kastes, lai garantētu, ka viņam:

(A) ir vismaz divas vienādas krāsas bumbiņas;
(B) ir vismaz divas melnas bumbinas;
(C) ir vismaz viena bumbiṇa no katras krāsas?

Doti trīs dažādi reāli skaitḷi. Zināms, ka aritmētiskais vidējais no divu mazāko skaitḷu aritmētiskā vidējā un divu lielāko skaitļu aritmētiskā vidējā ir vienāds ar visu trīs skaitḷu aritmētisko vidējo. Pie tam aritmētiskais vidējais no lielākā skaitḷa un mazākā skaitļa ir \(2024\). Nosakiet šo trīs skaitḷu summu!

Doti reāli skaitļi \(a\) un \(b\), kuriem

\[\frac{a}{a^{2}-5}=\frac{b}{5-b^{2}}=\frac{a b}{a^{2} b^{2}-5}.\]

Režģa (skatīt 5. att.) katrā rūtiņā ieraksti vienu ciparu no \(1\) līdz \(6\). Katrā rindā un katrā kolonnā jābūt ierakstītiem visiem skaitliem no \(1\) līdz \(6\). Katrā ar tumšu līniju atdalītajā figūrā, kas satur divas vai trīs rūtiņas, ir dots skaitlis un darbību zīme. Ar šīs figūras rūtiṇās ierakstītajiem skaitliem, veicot doto darbību, jāiegūst dotais skaitlis. Pietiek parādīt vienu piemēru, kā to izdarīt. Vienā ar tumšu līniju apvilktajā rūtiņā skaitlis jau ir ierakstīts.

Piemēram, augšējā kreisā stūra figūrā "4-" nozīmē, ka abu ierakstīto skaitļu starpība (no lielākā atņemot mazāko) ir \(4\).

Atrast visus naturālos skaitļus \(m\) un \(n\), kuriem \(m^{3} n+m+n = mn+2mn^{2}\).

Uzraksti \(10\) izteiksmes, katrai izmantojot četrus skaitlus \(3,5,7\) un \(9\) katru tieši vienu reizi un trīs aritmētisko darbību zīmes (saskaitīšanu, atņemšanu, reizināšanu vai dalīšanu), tā, lai šo izteiksmju vērtības būtu skaitḷi \(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\). Darbību grupēšanai drīkst izmantot iekavas, skaitḷu secību drīkst mainīt. Dalīšanai jāizpildās precīzi bez noapaļošanas. Katram skaitlim pietiek atrast vienu derīgu izteiksmi. Derīgas izteiksmes piemērs: \(7 \cdot(9-5)-3=25\).

Caurspīdīgā kastē ir ieliktas konfektes un četriem bērniem jāizsaka savs minējums par konfekšu skaitu tajā. Katrs piedāvā savu minējumu: \(116\), \(124\), \(120\) un \(128\). Izrādās, neviens nav uzminējis pareizi. Noskaidrojiet, cik konfekšu var būt kastē, ja zināms, ka no patiesā konfekšu skaita viens no skolēniem kḷūdījās par viens, viens - par trīs, viens - par pieci un viens - par deviņi.

Uz tāfeles uzrakstīti vairāki veseli skaitļi, kuru kubu summa ir \(2024\). Vai var gadīties, ka šo skaitļu summa ir (A) \(24\); (B) \(26\)?

Jānītis ir apmaldījies mežā ar laukumu \(S\) kvadrātkilometri. Par mežu zināms tikai tas, ka tas atrodas plaknē un tajā nav caurumu. Pamatot, ka eksistē tāda stratēǵgija, kuras maršruts nav garāks kā \(2 \sqrt{\pi S}\) kilometri, ar kuru Jānītis vienmēr var izkḷūt no meža (Jānītis nezina ne meža formu, ne savu sākotnējo atrašanās vietu tajā).

Trīs burvji rituālā spēj pārveidot skaitļus, bet katrs no burvjiem prot tikai vienu burvestību:

• pirmais burvis spēj atņemt no jebkura skaitḷa \(1\);
• otrais burvis spēj izdalīt jebkuru skaitli ar \(2\);
• trešais burvis spēj reizināt jebkuru skaitli ar \(3\).

Lai pārveidotu skaitli, burvji var pielietot savas burvestības jebkurā secībā, pat izlaižot citus burvjus. Bet katrs burvis savu burvestību katrā rituālā drīkst izmantot tikai \(5\) reizes, un starprezultātam jābūt veselam skaitlim, kas nepārsniedz \(9\). Vai burvji rituālā no skaitliem \(3,8,9,2,4\) var iegūt (A) \(3,3,3,3,3\); (B) \(5,5,5,5,5\)?

Izliekta četrstūra diagonāles sadala to četros trijstūros ar vienādiem perimetriem. Pamatot, ka šis četrstūris ir rombs.

Parādi, kā griežot pa rūtiņu līnijām, 7. att. doto figūru var sagriezt divās vienādās daḷās. Daḷas ir vienādas, ja tās pagriežot vai apmetot otrādi var uzlikt vienu uz otras tā, ka tās sakrīt.

Pie apaḷa galda sasēdušies vairāki hameleoni. Katrs hameleons var nokrāsoties vai nu sarkans, vai zaļš. Ik pēc minūtes tie hameleoni, kuru abi kaimiņi ir dažādās krāsās, maina savu krāsu. Vai noteikti (neatkarīgi no hameleonu sākotnējā krāsojuma) pienāks tāds brīdis, kad visu hameleonu krāsa sakritīs ar sākotnējo, ja pie galda sēž (A) \(6\); (B) \(7\) hameleoni?

Šaha festivālā piedalījās 95 dalībnieki. Zināms, ka festivāla laikā katrs dalībnieks izspēlēja ne vairāk kā 10 partijas, pie tam, katrs zaudēja vismaz vienā partijā. Katrā partijā uzvarētājs saņēma vienu punktu, zaudētājs \(0\) punktus, bet, ja partija beidzās neizšk̦irti, tad abi spēlētāji saņēma puspunktu. Vai var droši apgalvot, ka festivāla beigās bija vismaz (A) \(5\); (B) \(6\) dalībnieki ar vienādu punktu skaitu?

Marta, Sandris un Linda vēlas sagatavot pulciņa telpu Ziemassvētku ballītei. Zināms, ka Marta viena pati to spētu izdarīt vienā stundā, Sandris to spētu pusotrā stundā, bet Linda to spētu izdarīt trīs stundās. Marta ieradās pulciņa telpā 16:00, Sandris \(10\) minūtēs vēlāk, bet Linda vēl 15 minūtes pēc Sandra (katrs pēc ierašanās uzreiz k̦ērās pie pulciņa telpas gatavošanas). Cikos pulciņa telpa bija gatava?

Uz tāfeles uzrakstīti trīs skaitļi: \(11, 12, 13\). Vienā gājienā Agnese var izvēlēties vienu no skaitļiem, to nodzēst un tā vietā uzrakstīt skaitli, ko iegūst no divkāršotas abu pārējo skaitļu summas atņemot izvēlēto skaitli. Vai, atkārtojot šādus gājienus, Agnese var panākt to, ka uz tāfeles ir uzrakstīti skaitļi \(20, 24, 25\)?

Jānītis ir apmaldījies izliekta daudzstūra formas mežā ar laukumu \(S\) kvadrātkilometri. Pamatot, ka eksistē tāda stratēgija, kuras maršruts nav garāks kā \(\sqrt{2 \pi S}\) kilometri, ar kuru Jānītis vienmēr var izklı̄̄t no meža (Jānītis nezina ne meža formu, ne savu sākotnējo atrašanās vietu tajā).

Riņķa līnijā ievilkts četrstūris \(ABCD\), kuram \(\sphericalangle BAD = 2 \sphericalangle ADC\) un \(CD=2BC\). Uz malas \(AD\) atlikts punkts \(H\) tā, lai \(\sphericalangle DHC = 90^{\circ}\). Pamatot, ka \(BH \| CD\).

Pa apli patvaļīgā secībā sarakstīti visi naturālie skaitḷi no \(1\) līdz \(10\). Pamatot, ka noteikti var atrast tādus trīs secīgus skaitļus, kuru summa būs vismaz \(17\).