Rindā kaut kādā secībā uzrakstīti visi naturālie skaitli no \(1\) līdz \(2023\). Vienā gājienā tiek sareizināti katri divi blakus esošie skaitļi un zem tiem tiek uzrakstīta šī reizinājuma ciparu summa; šādā veidā tiek iegūta jauna rinda, kurā ir par vienu skaitli mazāk nekā sākotnējā rindā. Pēc pirmā gājiena tiek iegūta jauna rinda, kurā ir \(2022\) skaitļi, pēc otrā gājiena tiek iegūta jauna rinda, kurā ir \(2021\) skaitlis utt., līdz pēc 2022. gājiena tiek iegūta pēdējā jaunā rinda, kurā ir tikai viens skaitlis. Atrast visas iespējamās šī pēdējā skaitļa vērtības!

Dota vienādsānu trapece \(ABCD\), tās pamati ir \(AB\) un \(CD\) un diagonāles krustojas punktā \(X\). Malas \(AD\) viduspunktu apzīmēsim ar \(M\). Caur \(X\) vilktā taisne, kas paralēla \(AB\), krusto malu \(AD\) punktā \(Y\). Pierādīt, ka punkti \(B,C,M,Y\) atrodas uz vienas riṇka līnijas!

Plaknē atzīmēti punkti \(A(5;2)\), \(B(m;5)\) un \(C(3;m)\). Kādām reālām \(m\) vērtībām trijstūris \(ABC\) ir taisnleņka trijstūris?

Pa apli uzrakstīti \(n\) skaitļi, kur katrs no tiem ir \(0\) vai \(1\). Vienā gājienā Māris var izvēlēties kādu skaitli, kuram blakus abās pusēs (pa labi un pa kreisi) uzrakstītie skaitļi ir vienādi, un izvēlētā skaitļa vietā uzrakstīt otru skaitli (tas ir, skaitļa \(0\) vietā uzrakstīt \(1\) un otrādi). Vai Māris, atkārtojot šādus gājienus, vienmēr (neatkarīgi no sākotnējām skaitļu vērtībām un izkārtojuma) var panākt, ka visi pa apli uzrakstītie skaitļi ir vienādi, ja: (A) \(n=72\); (B) \(n=73\); (C) \(n=74\)?

Izliekta četrstūra \(ABCD\) diagonāļu krustpunkts ir \(O\). Zināms, ka \(\sphericalangle CAD=30^{\circ}\), \(\sphericalangle BCD=2 \sphericalangle BAD\) un \(\sphericalangle ABC = 2 \sphericalangle ADC\). Aprēķināt \(\sphericalangle COD\)!

Doti \(8\) atsvari, kuru masas attiecīgi ir \(1,2,3,4,5,6,7\) un \(8 \mathrm{~kg}\). Vai šos atsvarus var novietot uz sviru svaru kausiem tā, lai izpildās abi nosacījumi:

• sākumā uz katra svaru kausa būtu \(4\) atsvari un svari atrastos līdzsvarā;
• atsvarus varētu pārmaiņus noņemt no viena svaru kausa un no otra tā, lai pēc katra atsvara (izṇemot pēdējā) noṇemšanas tas kauss, no kura noṇem atsvaru, kļūtu vieglāks nekā otrs svaru kauss?

Uz trijstūra \(ABC\) malas \(BC\) izvēlēts patvaļīgs punkts \(D\). Punkti \(I_{1}\) un \(I_{2}\) ir attiecīgi trijstūros \(ABD\) un \(ACD\) ievilkto rinķa līniju centri. Trijstūrim \(AI_{1}B\) apvilktā rinķa līnija krusto taisni \(BC\) punktā \(X\), kas nesakrīt ar \(B\), bet trijstūrim \(A I_{2} C\) apvilktā riņķa līnija krusto taisni \(BC\) punktā \(Y\), kas nesakrīt ar \(C\). Pierādīt, ka \(DX=DY\).

Doti \(8\) atsvari, kuru masas attiecīgi ir \(1,2,3,4,5,6,7\) un \(8 \mathrm{~kg}\). Vai šos atsvarus var novietot uz sviru svaru kausiem tā, lai izpildās abi nosacījumi:

• sākumā uz katra svaru kausa būtu \(4\) atsvari un svari atrastos līdzsvarā;
• atsvarus varētu pārmainus noṇemt no viena svaru kausa un no otra tā, lai pēc katra atsvara (izṇemot pēdējā) noṇemšanas tas kauss, no kura noṇem atsvaru, kļūtu vieglāks nekā otrs svaru kauss?

Doti tādi reāli skaitli \(x\) un \(y\), ka \(x+y=1\) un \(x^{2}+y^{2}=3\). Pierādīt, ka izteiksmes \(x^{11}+y^{11}\) vērtība ir naturāls skaitlis, un atrast šo vērtību!

Doti tādi reāli skaitli \(x\) un \(y\), ka \(x+y=1\) un \(x^{3}+y^{3}=4\). Pierādīt, ka izteiksmes \(x^{13}+y^{13}\) vērtība ir naturāls skaitlis, un atrast šo vērtību!

Kādā valstī ir \(100\) pilsētas, dažas no tām ir savienotas ar ceļiem. Katrs ceļš savieno tieši divas pilsētas un ārpus pilsētām ceļi nekrustojas (izmantoti viadukti). Kāds ir pats mazākais kopējais ceļu skaits, pie kura noteikti (neatkarīgi no celu izvietojuma) var apgalvot, ka no jebkuras pilsētas var aizbraukt uz jebkuru citu pilsētu (varbūt arī caur vienu vai vairākām citām pilsētām)?

Pierādīt, ka eksistē bezgalīgi daudz tādu naturālu skaitļu četrinieku \(\left(a_{1}; b_{1}; a_{2}; b_{2}\right)\), ka \(a_{1} \neq a_{2}, b_{1} \neq b_{2}\) un

\[2^{a_{1}}-\left(b_{1}\right)^{2}=2^{a_{2}}-\left(b_{2}\right)^{2}>0\]

Pa apli sarakstīti \(n\) skaitļi, kur katrs no tiem ir \(0\) vai \(1\). Vienā gājienā Kims var izvēlēties kādu skaitli, kuram blakus abās pusēs (pa labi un pa kreisi) uzrakstītie skaitļi ir vienādi, un izvēlētā skait!̣a vietā uzrakstīt otru skaitli (tas ir, skaitļa \(0\) vietā uzrakstīt \(1\) un otrādi). Kādām \(n\) vērtībām Kims, atkārtojot šādus gājienus, vienmēr (neatkarīgi no skaitļu sākotnējām vērtībām un izkārtojuma) var panākt, ka visi pa apli uzrakstītie skaitļi kļūst vienādi?

Augoša aritmētiskā progresija sastāv no trīs trīsciparu skaitlliem. Zināms, ka jebkuru no šiem trīsciparu skaitļiem var iegūt no jebkura cita, samainot vietām tā ciparus. Kāda ir mazākā iespējamā šīs aritmētiskās progresijas diference?

Sākumā uz tāfeles ir uzrakstīti visi naturālie skaiți no \(1\) līdz \(2023\) (katrs tieši vienu reizi). Vienā gājienā Ilmārs var izvēlēties jebkurus divus uz tāfeles uzrakstītos skaitļus, nodzēst tos, un vietā uzrakstīt to vidējo aritmētisko. Pēc \(2022\) gājieniem uz tāfeles būs palicis tieši viens skaitlis. Kādas ir iespējamās naturālās šīs skaitļa vērtības?

Uz tāfeles uzrakstīti dažādi pirmskaitļi, kuru vidējais aritmētiskais ir \(25\). Kāds vislielākais pirmskaitlis var būt uzrakstīts uz tāfeles?

Pierādīt, ka nevar atrast tādus pirmskaitlus \(p\) un \(q\), kuriem \(p^{q-1}+q^{p-1}+1\) ir vesela skaitļa kvadrāts!

Vai eksistē tādi naturāli skaitli \(x\) un \(y\), ka izteiksmes \(x^{2}-x-y^{2}+y\) vērtība ir (A) \(10\), (B) \(2023\)?

Atrisināt reālos skaitļos vienādojumu

\[3\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}+4\right) - 2(xy + yz + zx) - 4(x+y+z)=0\]

Uz tāfeles uzrakstīti \(100\) reāli pozitīvi skaitļi (ne obligāti dažādi). Ja uz tāfeles ir uzrakstīti skaitļi \(x\) un \(y\) (ne obligāti dažādi), tad uz tās ir uzrakstīts arī skaitlis \(\frac{2xy}{x+y}\). Kāda var būt visu \(100\) uzrakstīto skaitlu summa, ja zināms, ka viens no uzrakstītajiem skaitliem ir \(73\)?