Mārim bija četru veidu konfektes: 15 “Serenādes”, 25 “Lācīši Ķepainīši”, 35 “Vāverītes” un 45 “Sarkanās magones”. Katru no saviem dzimšanas dienas viesiem viņš uzcienāja ar tieši 3 dažādām konfektēm. Kāds ir lielākais iespējamais viesu skaits, kas bija ieradušies uz Māra dzimšanas dienas svinībām?

Doti divi skaitļi, katram no tiem ir vismaz divi cipari. Zināms, ka pirmais skaitlis ir vienāds ar skaitli, kuru iegūst, otro skaitli pareizinot pašu ar sevi. Vai var gadīties, ka abu skaitļu pierakstā izmantoti tikai cipari (a) \(2\); \(3\); \(7\) un \(8\); (b) \(1\); \(3\); \(4\); \(5\) un \(6\)?

Ja divciparu skaitlim \(\overline{ab}\) galā pieraksta divciparu skaitli \(\overline{cd}\), tad iegūtais četrciparu skaitlis dalās ar \(13\). Zināms, ka \(12a + 9b\) dalās ar \(13\). Kāds var būt skaitlis \(\overline{cd}\)?

Skaitļus no \(1\) līdz \(9\) ieraksti 1. att. redzamajos mazajos trijstūros (katrā trijstūrī citu naturālo skaitli) tā, lai blakus trijstūros ierakstītie skaitļi neatšķiras vairāk kā par \(3\).
Piezīme. Par blakus trijstūriem sauksim trijstūrus, kam ir kopīga mala.

Gunai bija četru veidu konfektes: 8 “Serenādes”, 14 “Lācīši Ķepainīši”, 20 “Vāverītes” un 26 “Sarkanās magones”. Katru no saviem dzimšanas dienas viesiem viņa uzcienāja ar tieši 3 dažādām konfektēm. Kāds ir lielākais iespējamais viesu skaits, kas bija ieradušies uz Gunas dzimšanas dienas svinībām?

Pirmie sešpadsmit naturālie skaitļi patvaļīgā secībā izvietoti pa apli, katriem diviem blakus skaitļiem aprēķināta to starpība (no lielākā skaitļa atņemot mazāko), un pēc tam aprēķināta visu šo \(16\) starpību summa \(S\). Vai var gadīties, ka: (A) \(S = 100\); (B) \(S = 123\)?

Uz katras no \(36\) kartītēm uzrakstīts kāds naturāls skaitlis (daži no tiem var būt arī vienādi). Kartītes iespējams sadalīt deviņās grupās pa četrām kartītēm katrā tā, ka visās grupās uz kartītēm uzrakstīto skaitļu summas ir vienādas. Kā arī kartītes iespējams sadalīt četrās grupās pa deviņām kartītēm katrā tā, ka visās grupās uz kartītēm uzrakstīto skaitļu summas ir vienādas. Vai vienmēr visas kartītes var sadalīt sešās grupās pa sešām kartītēm katrā tā, ka visās grupās uz kartītēm uzrakstīto skaitļu summas ir vienādas?

Uz katras no \(72\) kartītēm uzrakstīts kāds naturāls skaitlis (daži no tiem var būt arī vienādi). Kartītes iespējams sadalīt astoņās grupās pa deviņām kartītēm katrā tā, ka visās grupās uz kartītēm uzrakstīto skaitļu summas ir vienādas. Kā arī kartītes iespējams sadalīt deviņās grupās pa astoņām kartītēm katrā tā, ka visās grupās uz kartītēm uzrakstīto skaitļu summas ir vienādas. Vai vienmēr:

(A) visas kartītes var sadalīt sešās grupās pa \(12\) kartītēm katrā tā, ka visās grupās uz kartītēm uzrakstīto skaitļu summas ir vienādas;
(B) visas kartītes var sadalīt \(12\) grupās pa sešām kartītēm katrā tā, ka visās grupās uz kartītēm uzrakstīto skaitļu summas ir vienādas?

Kvadrātā ar izmēriem \(8 \times 8\) rūtiņas iekrāsotas astoņas rūtiņas tā, ka katrā rindā un katrā kolonnā ir iekrāsota tieši viena rūtiņa.

(A) Pierādīt, ka jebkuram kvadrātam ar šādi iekrāsotām rūtiņām var atrast taisnstūri ar izmēriem \(2 \times 4\) rūtiņas, kurā nav iekrāsota neviena rūtiņa!
(B) Parādīt, ka līdzīgs apgalvojums par taisnstūri ar izmēriem \(2 \times 5\) rūtiņas nav patiess!

Dota riņķa līnija, uz tās atlikti punkti \(A\), \(B\) un \(D\), bet punkts \(C\) atlikts tās iekšpusē tā, ka punkti \(A\) un \(D\) atrodas dažādās pusēs no taisnes \(BC\). Zināms, ka \(AB = 2\), \(BC = 5\), \(CD = 3\), \(AB \perp BC\) un \(BC \perp CD\). Aprēķināt riņķa, ko ierobežo dotā riņķa līnija, laukumu!

Četru bērnu – Almas, Bruno, Cēzara un Dorotejas – tēvs mēdz bērniem iedot sīknaudu. Tā reiz tēvs saviem bērniem iedeva sīknaudu šādi:

• Almai kādu naudas summu viena centa monētās;
• Bruno mazāko naudas summu divu centu monētās, kas ir lielāka nekā Almai iedotā naudas summa;
• Cēzaram mazāko naudas summu piecu centu monētās, kas ir lielāka nekā Bruno iedotā naudas summa;
• Dorotejai mazāko naudas summu desmit centu monētās, kas ir lielāka nekā Cēzaram iedotā naudas summa.

Kāda ir (A) lielākā, (B) mazākā iespējamā starpība starp Dorotejai un Almai iedotajām naudas summām?

Skaitļus no \(1\) līdz \(16\) ieraksti 7.att. redzamajos mazajos trijstūros (katrā trijstūrī citu naturālo skaitli) tā, lai blakus trijstūros ierakstīties skaitļi neatšķiras vairāk kā par \(4\).
Piezīme. Par blakus trijstūriem sauksim trijstūrus, kam ir kopīga mala.

Vai burtu vietā var ierakstīt sešus dažādus nenulles ciparus, lai dotā vienādība būtu patiesa un visas daļas būtu nesaīsināmas: \(\frac{A}{B} + \frac{C}{D} = \frac{E}{F}\).

Trijstūrī viens leņķis ir par \(120^{\circ}\) lielāks nekā otrs. Pierādīt, ka bisektrise, kas vilkta no trešā leņķa virsotnes, ir divas reizes garāka nekā augstums no tās pašas virsotnes!

No četrām tādām figūrām, kāda dota 12. att., uzzīmē figūru, kurai ir tieši: (A) \(2\) simetrijas asis; (B) \(4\) simetrijas asis!
Piezīme. Figūru, kas dota 12. att., drīkst pagriezt. Uzzīmētajai figūrai var būt arī caurumi. Figūrai jābūt saistītai, tas ir, no figūras katras rūtiņas jābūt iespējai aiziet uz jebkuru citu šīs figūras rūtiņu, ejot tikai pa šīs figūras rūtiņām, katru reizi pārejot no attiecīgās rūtiņas uz blakus rūtiņu, ar ko tai ir kopīga mala.

Uz tāfeles uzrakstīti visi naturālie skaitļi no \(1\) līdz \(100\) (katrs tieši vienu reizi). Maruta vienu no tiem nodzēsa un izrādījās, ka viens no atlikušajiem skaitļiem tagad ir visu atlikušo skaitļu vidējais aritmētiskais. Kāds varēja būt Marutas nodzēstais skaitlis?

Pierādīt, ka \(a^2c + ac^2 - 6abc + 3b^2c + ab^2 \geq 0\) visām pozitīvām reālām \(a\), \(b\) un \(c\) vērtībām!

Divi vienādmalu trijstūri novietoti plaknē kā parādīts 15. att. Zināms, ka \(\sphericalangle CAD = \alpha\) un \(\sphericalangle FDJ = \beta\). Izsaki leņķi \(CGF\) ar \(\alpha\) un \(\beta\).

Uz tāfeles uzrakstīta daļa \(\frac{10}{2023}\). Katrā gājienā var izvēlēties patvaļīgu naturālu skaitli un vai nu pieskaitīt to gan daļas skaitītājam, gan saucējam, vai arī to reizināt ar daļas skaitītāju un saucēju. Vai, atkārtojot šādus gājienus, var iegūt daļu, kuras vērtība ir: (A) \(\frac{1}{10}\); (B) \(1\)?

Trīsciparu skaitļa \(x\) ciparu summa ir \(12\). Ja šim skaitlim nodzēš pēdējo ciparu, tad atlikušais divciparu skaitlis dalās ar \(9\). Zināms, ka skaitlis \(x\) ir par \(99\) lielāks nekā trīsciparu skaitlis, ko iegūst, uzrakstot tā ciparus pretējā secībā. Kāds var būt skaitlis \(x\)?

Latvijā, tāpat kā visās eirozonas valstīs, apgrozībā ir \(1\); \(2\); \(5\); \(10\); \(20\) un \(50\) centu monētas. Pieņemsim, ka ir zināma no šīm monētām izveidotā naudas summa \(S\) un izmantoto monētu skaits \(M\). Daudzos gadījumos, zinot \(S\) un \(M\) vērtības, var viennozīmīgi noteikt izmantoto monētu komplektu. Piemēram, ja \(S=7\) un \(M=3\), tad ir izmantota viena piecu un divas viena centa monētas un citu variantu nav.

Kāda ir mazākā \(S\) vērtība, kurai var atrast tādu \(M\) vērtību, ka, zinot \(S\) un \(M\) vērtības, izmantoto monētu komplektu viennozīmīgi nav iespējams noteikt?

Dots ieliekts četrstūris \(ABCD\), kuram \(AB=BC=CD\). Zināms, ka \(\sphericalangle BAD = \alpha\) un \(\sphericalangle BCD = 2\alpha\), bet leņķa \(ABC\) lielums četrstūra ārpusē ir \(7\alpha\) (skat. 19. att.). Aprēķināt \(\alpha\) vērtību!

Kāda ir izteiksmes \(2x^2 − 8xy + 4x + 9y^2 - 14y + 9\) mazākā iespējamā vērtība, ja \(x\) un \(y\) ir reāli skaitļi?

Vai rindā kaut kādā secībā var uzrakstīt naturālus skaitļus (A) no \(1\) līdz \(23\); (B) no \(1\) līdz \(2023\) tā, lai blakus skaitļiem nebūtu vienādu ciparu?

Vai burtu vietā var ierakstīt \(9\) dažādus nenulles ciparus, lai vienādība \(\frac{A}{B} + \frac{C}{D} + \frac{E}{F} + \frac{G}{H} = I\) būtu patiesa?

Atrisināt veselos skaitļos vienādojumu \(17a^2 - 7b^2 + c^2 = 2023\).

Uz katras no \(72\) kartītēm uzrakstīts kāds naturāls skaitlis (daži no tiem var būt arī vienādi). Kartītes iespējams sadalīt astoņās grupās pa deviņām kartītēm katrā tā, ka visās grupās uz kartītēm uzrakstīto skaitļu summas ir vienādas. Kā arī kartītes iespējams sadalīt deviņās grupās pa astoņām kartītēm katrā tā, ka visās grupās uz kartītēm uzrakstīto skaitļu summas ir vienādas. Vai vienmēr:
(A) visas kartītes var sadalīt sešās grupās pa \(12\) kartītēm katrā tā, ka visās grupās uz kartītēm uzrakstīto skaitļu summas ir vienādas;
(B) visas kartītes var sadalīt \(12\) grupās pa sešām kartītēm katrā tā, ka visās grupās uz kartītēm uzrakstīto skaitļu summas ir vienādas?

Dots kvadrāts ar izmēriem \(n \times n\) rūtiņas. Vienā gājienā kauliņu var pārlikt tieši \(2\) rūtiņas uz priekšu pa jebkuru no diagonālēm, kas iziet no tā lauciņa, kurā atrodas kauliņš (skat. 4. att., kur kauliņš apzīmēts ar "o" un ar "x" atzīmētas tās rūtiņas, uz kurām to drīkst pārvietot). Vai, veicot vairākus gājienus, kauliņu no kreisās apakšējās rūtiņas var pārvietot uz kreiso augšējo rūtiņu, ja kvadrāta izmēri ir: (A) \(9 \times 9\); (B) \(10 \times 10\); (C) \(11 \times 11\)?

Rūtiņu lapā, kurā katras rūtiņas malas garums ir \(1\), uzzīmē daudzstūri, kuram gan perimetra, gan laukuma vērtība ir tāda pati kā malu skaits!

Pie galda sēž zaļie bruņinieki un sarkanie bruņinieki, pavisam kopā \(10\) bruņinieku. Zaļie bruņinieki vienmēr saka patiesību, sarkanie bruņinieki vienmēr melo. Katrs bruņinieks izteicās:

• pirmais bruņinieks teica: "starp mums nav neviena zaļā bruņinieka";
• otrais bruņinieks teica: "starp mums ir ne vairāk kā viens zaļais bruņinieks";
• trešais teica: "starp mums ir ne vairāk kā divi zaļie bruņinieki";
• ceturtais teica: "starp mums ir ne vairāk kā trīs zaļie bruņinieki",
• un tā tālāk, līdz desmitais bruņinieks teica: "starp mums ir ne vairāk kā deviņi zaļie bruņinieki".

Cik zaļo un cik sarkano bruņinieku sēž pie galda?

Kāds ir lielākais iespējamais septiņciparu skaitlis, kuram vienlaicīgi izpildās šādi nosacījumi:

• tas dalās ar \(12\);
• skaitļa pirmais cipars ir tāds pats kā pēdējais cipars;
• skaitļa 2., 4. un 6. cipars ir vienādi un tie ir divas reizes lielāki nekā pirmais cipars;
• skaitļa trešais cipars ir tāds pats kā piektais cipars?

Taisnstūra \(ABCD\) diagonāle \(BD\) ir kvadrāta \(BDEF\) viena mala. Punkts \(C\) atrodas kvadrāta \(BDEF\) iekšpusē. Pierādīt, ka \(S_{ABD} \leq S_{CEF}\).

Vai eksistē tāds naturāls skaitlis, kuram tieši (A) \(25\%\); (B) \(26\%\) no visiem tā pozitīvajiem dalītājiem dod atlikumu \(1\), dalot ar \(3\)?
Piezīme. Skaitļa \(n\) dalītājs ir arī \(1\) un pats skaitlis \(n\).

Pie galda sēž zaļie bruņinieki un sarkanie bruņinieki, pavisam kopā 10 bruņinieku. Zaļie bruņinieki vienmēr saka patiesību, sarkanie bruņinieki vienmēr melo. Katrs bruņinieks izteicās:

• pirmais bruņinieks teica: "starp mums nav neviena zaļā bruņinieka";
• otrais bruņinieks teica: "starp mums ir ne vairāk kā viens zaļais bruņinieks";
• trešais teica: "starp mums ir ne vairāk kā divi zaļie bruņinieki";
• ceturtais teica: "starp mums ir ne vairāk kā trīs zaļie bruņinieki",
• un tā tālāk, līdz desmitais bruņinieks teica: "starp mums ir ne vairāk kā deviņi zaļie bruņinieki".

Cik zaļo un cik sarkano bruņinieku sēž pie galda?

No četrām tādām figūrām, kāda dota 9. att., uzzīmē figūru, kurai ir tieši: (A) \(2\) simetrijas asis; (B) \(4\) simetrijas asis!

Piezīme. Figūru, kas dota 9. att., drīkst pagriezt un apmest otrādi. Uzzīmētajai figūrai var būt arī caurumi. Figūrai jābūt saistītai, tas ir, no figūras katras rūtiņas jābūt iespējai aiziet uz jebkuru citu šīs figūras rūtiņu, ejot tikai pa šīs figūras rūtiņām, katru reizi pārejot no attiecīgās rūtiņas uz blakus rūtiņu, ar ko tai ir kopīga mala.

Pierādīt, ka \(9x^2 + 5y^2 − 8xy − 4x + 2 > 0\) visām reālām \(x\) un \(y\) vērtībām!

Uz palodzes sēž vairākas bizbizmārītes, katrai no tām uz muguras ir vai nu trīs punktiņi, vai astoņi punktiņi. Tās bizbizmārītes, kurām uz muguras ir astoņi punktiņi, vienmēr saka patiesību, bet tās bizbizmārītes, kurām uz muguras ir trīs punktiņi, vienmēr melo. Katra bizbizmārīte izteicās:

• pirmā bizbizmārīte teica: "punktiņu skaits uz muguras mums visām ir vienāds";
• otrā teica: "mums visām kopā uz muguras ir \(38\) punktiņi";
• trešā teica: "nē, mums visām kopā uz muguras ir \(48\) punktiņi";
• katra no atlikušajām bizbizmārītēm teica: "no pirmajām trijām bizbizmārītēm tieši viena teica patiesību".

Cik bizbizmārītes sēž uz palodzes?

Uz palodzes sēž vairākas bizbizmārītes, katrai no tām uz muguras ir vai nu divi punktiņi, vai septiņi punktiņi. Tās bizbizmārītes, kurām uz muguras ir septiņi punktiņi, vienmēr saka patiesību, bet tās bizbizmārītes, kurām uz muguras ir divi punktiņi, vienmēr melo. Katra bizbizmārīte izteicās:

• pirmā bizbizmārīte teica: "punktiņu skaits uz muguras mums visām ir vienāds";
• otrā teica: "mums visām kopā uz muguras ir \(42\) punktiņi";
• trešā teica: "nē, mums visām kopā uz muguras ir \(32\) punktiņi";
• katra no atlikušajām bizbizmārītēm teica: "no pirmajām trijām bizbizmārītēm tieši viena teica patiesību".

Cik bizbizmārīšu sēž uz palodzes?

Doti divi skaitļi. Zināms, ka viens no tiem ir tieši septiņas reizes lielāks nekā otrs un katram no tiem ir vismaz divi cipari. Vai var gadīties, ka abu skaitļu pierakstā izmantoti tikai cipari (A) \(3\); \(4\); \(6\) un \(7\); (B) \(1\); \(2\) un \(3\)?

Latvijā, tāpat kā visās eirozonas valstīs, apgrozībā ir \(1\); \(2\); \(5\); \(10\); \(20\) un \(50\) centu monētas. Pieņemsim, ka ir zināma no šīm monētām izveidotā naudas summa \(S\) un izmantoto monētu skaits \(M\). Daudzos gadījumos, zinot \(S\) un \(M\) vērtības, var noteikt precīzu izmantoto monētu komplektu. Piemēram, ja \(S=7\) un \(M=3\), tad ir izmantota viena piecu un divas viena centa monētas un citu variantu nav. Kāda ir mazākā \(M\) vērtība, kurai var atrast tādu \(S\) vērtību, ka, zinot \(S\) un \(M\) vērtības, izmantoto monētu komplektu viennozīmīgi nav iespējams noteikt?