Can the number \(2023^2\) be expressed as the sum of three integer cubes?

Vai skaitli \(2023^2\) var izteikt kā trīs veselu skaitļu kubu summu?

Show how to cut ten shapes (as in Fig.2) from the given piece of grid paper (see Fig. 1). (Mark the lines where cuts should be made!) The figures can also be rotated.

Parādi, kā no 1. att. dotās rūtiņu lapas var izgriezt desmit figūras, kādas dotas 2. att. (iezīmē, kur jāiet griezuma līnijām)! Figūras var būt arī pagrieztas.

How many four-digit numbers \(\overline{ABBA}\) are there that are divisible by \(99\)? (The same letters are replaced by the same digits, but different letters may or may not be the same.)

Cik ir tādu četrciparu skaitļu \(\overline{ABBA}\), kas dalās ar \(99\)? (Vienādiem burtiem atbilst vienādi cipari, dažādiem burtiem var atbilst arī vienādi cipari.)

For what real values \(p\) the sum of cubes of both roots of the equation \(x^2 + x + p\) is equal to \((-16)\)?

Kādām reālām \(p\) vērtībām vienādojuma \(x^2 + x + p\) sakņu kubu summa ir \((-16)\)?

In triangle \(ABC\) the length of altitude drawn from \(A\) is \(1\). The median drawn from \(C\) also has length \(1\), but the altitude drawn from \(B\) has length \(\sqrt{3}\). What can be the area of this triangle?

Trijstūrī \(ABC\) no virsotnes \(A\) vilktā augstuma garums ir \(1\), no virsotnes \(C\) vilktās mediānas garums arī ir \(1\), bet augstuma no virsotnes \(B\) garums ir \(\sqrt{3}\). Kāds var būt šī trijstūra laukums?

Do there exist (A) \(5\); (B) \(15\) positive integers (some of them may be equal) such that their sum equals their product?

Vai var atrast (A) \(5\); (B) \(15\) naturālus skaitļus (ne obligāti dažādus), kuru summa ir vienāda ar to reizinājumu?

Is it possible to arrange the numbers
(A) \(1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13\);
(B) \(1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14\)
on a circle so that any two adjacent numbers differ by \(3\); \(4\) or \(5\)?

Vai pa apli var uzrakstīt skaitļus
(A) 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13;
(B) 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14;
tā, lai katri divi blakus esoši skaitļi atšķirtos par \(3\); \(4\) vai \(5\)?

There is a right triangle \(ACB\); on its hypotenuse \(AB\) there is a point \(O\), which is the centre of a circle of radius of \(3\) touching both legs (catheti) of the triangle. Calculate the area of triangle \(ACB\), if \(OB = 5\).

Uz taisnleņķa trijstūra \(ACB\) hipotenūzas \(AB\) atlikts punkts \(O\), kas ir centrs riņķa līnijai ar rādiusu \(3\), kura pieskaras abām katetēm. Aprēķināt trijstūra \(ACB\) laukumu, ja \(OB = 5\).

In a triangle \(ABC\) on the side \(BC\) there is a point \(D\) such that \(AD = BD\) and \(AB = DC = AC\). Calculate the angles of \(ABC\)!

Trijstūrī \(ABC\) uz malas \(BC\) atlikts tāds punkts \(D\), ka \(AD = BD\) un \(AB = DC = AC\). Aprēķināt trijstūra \(ABC\) leņķus!

\(250\) tickets were made for the theatre performance and at least half of them were sold. It is known that exactly a third of the audience were schoolchildren, exactly one fifth of the audience were students and exactly one-seventh were retirees. How many tickets were sold?

Uz teātra izrādi tika izgatavotas \(250\) biļetes un vismaz puse no biļetēm tika pārdotas. Zināms, ka tieši trešdaļa no skatītājiem bija skolēni, tieši piektdaļa – studenti un tieši septītdaļa – pensionāri. Cik biļetes tika pārdotas?

What is the last digit of \(2022^{2022}\)?

Kāds ir skaitļa \(2022^{2022}\) pēdējais cipars?

For what real values \(p\) both roots \(x_1,x_2\) of the equation \(x^2 + x + p = 0\) are such that \(x_1^2 + x_2^2 = 16\)?

Kādām reālām \(p\) vērtībām vienādojuma \(x^2 + x + p = 0\) sakņu kvadrātu summa ir \(16\)?

The balance scales (a), (b) and (c) are all in equilibrium. How many arrows should be put in the place of the question mark so that the balance scale (d) is also in equilibrium? Justify your answer!

Zināms, ka svari (a), (b) un (c) atrodas līdzsvarā. Cik bultiņu jāliek jautājuma zīmes vietā, lai svari (d) atrastos līdzsvarā? Atbildi pamatot!

Some of \(273\) villagers always tell the truth, the remaining ones lie all the time. Each of the villagers has exactly one favourite day of the week. There was a poll of all the villagers, and they were asked to answer seven questions with either "Yes" or "No":

The number of "Yes" answers received to each question was as follows: Monday - \(51\), Tuesday - \(52\), Wednesday - \(53\), Thursday - \(55\), Friday - \(54\), Saturday - \(56\), Sunday - \(57\). How many villagers lie all the time?

Daži no 273 ciema iedzīvotājiem visu laiku saka patiesību, pārējie visu laiku melo. Katram no ciema iedzīvotājiem ir tieši viena mīļākā nedēļas diena. Aptaujājot iedzīvotājus, viņiem tika lūgts atbildēt uz septiņiem jautājumiem, katrā no tiem izvēloties vienu no dotajām atbildēm:

Uz katru jautājumu saņemto apstiprinošo ("jā") atbilžu skaits bija šāds: pirmdiena – \(51\), otrdiena – \(52\), trešdiena – \(53\), ceturtdiena – \(54\), piektdiena – \(55\), sestdiena – \(56\), svētdiena – \(57\). Cik ciema iedzīvotāji visu laiku melo?

Each of the three girls, Elina, Guna and Maruta likes some color - either green, yellow, or orange. Each girl likes a different color, and dislikes the remaining two colors. Exactly one of the following claims is known to be true:

• Guna doesn't like orange;
• Elina doesn't like green;
• Elina doesn't like orange.

What colour does every girl like? Justify your answer!

Katrai no trīs meitenēm Elīnai, Gunai un Marutai patīk viena no krāsām: zaļa, dzeltena, oranža (katrai cita krāsa), bet abas pārējās krāsas nepatīk. Zināms, ka tieši viens no apgalvojumiem ir patiess:

• Gunai nepatīk oranža krāsa;
• Elīnai nepatīk zaļa krāsa;
• Elīnai nepatīk oranža krāsa.

Kāda krāsa patīk katrai meitenei? Atbildi pamatot!

Can \(2022\) be expressed as the sum of cubes of two integers?

Vai skaitli 2022 var izteikt kā divu veselu skaitļu kubu summu?

The circle inscribed into a triangle \(ABC\) touches edge \(AB\) in point \(D\) so that \(AD = 8\) and \(BD = 1\). Compute the length of side \(BC\) if the size of angle \(\sphericalangle B\) in the triangle is \(120^{\circ}\).

Trijstūrī \(ABC\) ievilktā riņķa līnija pieskaras malai \(AB\) punktā \(D\) tā, ka \(AD = 8\) un \(BD = 1\). Aprēķināt malas \(BC\) garumu, ja trijstūra leņķa \(B\) lielums ir \(120^{\circ}\).

Prove that any positive integer greater than \(3\) can be uniquely expressed as the sum of three \(x,y,z\) (\(x \leq y \leq z\)) positive integers so that the numbers \(x\), \(y\), \(z\) satisfy the inequality

\[x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - xz \leq 1.\]

Pierādīt, ka katru naturālu skaitli, kas ir lielāks nekā \(3\), var vienā vienīgā veidā izteikt kā trīs naturālu skaitļu \(x,y,z\) (\(x \leq y \leq z\)) summu tā, lai skaitļiem \(x\), \(y\), \(z\) izpildītos nevienādība

\[x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - xz \leq 1.\]

The floor plan of an art museum is a rectangle with dimensions \(m \times n\) (\(m \geq 2\), \(n \geq 2\)) squares, where each square corresponds to a single museum room. The director of the museum wants to create a visitor route that satisfies the following requirements:

• the route starts in one of the squares (rooms) at the edge of the rectangle;
• a visitor can move from one square (room) to another square (room) if they have a common side;
• a visitor visits each square (room) exactly once during the route;
• the route ends in the square (room) next to the edge of the rectangle and next to the square where the route starts.

For what values \(m\) and \(n\) can the director create a route satisfying these requirements?

Mākslas muzeja plānojums ir taisnstūris ar izmēriem \(m \times n\) (\(m \geq 2\), \(n \geq 2\)) rūtiņas, kur viena rūtiņa atbilst vienai muzeja telpai. Muzeja vadītājs vēlas izveidot apmeklētāju maršrutu, kuram izpildās šādas īpašības:

• maršruts sākas kādā no rūtiņām (telpām), kas atrodas pie taisnstūra malas;
• apmeklētājs no vienas rūtiņas (telpas) var pāriet uz citu rūtiņu (telpu), ja tām ir kopīga mala;
• apmeklētājs maršruta laikā apmeklē katru rūtiņu (telpu) tieši vienu reizi;
• maršruts beidzas rūtiņā (telpā), kas atrodas pie taisnstūra malas blakus maršruta sākuma rūtiņai (telpai).

Kādām \(m\) un \(n\) vērtībām muzeja vadītājs var izveidot šādu maršrutu?

In a right triangle \(ACB\) (\(\sphericalangle C = 90^{\circ}\)) \(CH\) is an altitude. On the side \(AC\) we mark a point \(K\) so that \(\sphericalangle CBK = \sphericalangle BAC\). Prove that the line \(CH\) divides the segment \(BK\) in half!

Taisnleņķa trijstūrī \(ACB\) (\(\sphericalangle C = 90^{\circ}\)) novilkts augstums \(CH\). Uz malas \(AC\) atlikts punkts \(K\) tā, ka \(\sphericalangle CBK = \sphericalangle BAC\). Pierādīt, ka taisne \(CH\) dala nogriezni \(BK\) divās vienādās daļās!

The balance scales (a), (b) and (c) are known to be in equilibirum. How many circles should you put in place of the question mark so that the balance scale (d) is also in equilibrium? Justify your answer!

Zināms, ka svari (a), (b) un (c) atrodas līdzsvarā. Cik aplīšu jāliek jautājuma zīmes vietā, lai svari (d) atrastos līdzsvarā? Atbildi pamatot!

Show how to draw \(6\) lines in a plane and mark \(7\) points on the lines so that exactly three points are marked on each line!

Parādi, kā plaknē novilkt \(6\) taisnes un uz tām atlikt \(7\) punktus tā, lai uz katras no taisnēm būtu atzīmēti tieši trīs punkti!

A table consists of \(n \times n\) little squares. Ilmārs and Kims play the following game. They make alternating moves: in every move a player enters either \(1\) or \(-1\) in some little square that was empty so far. Ilmārs makes the first move. If a row or a column is completely filled in after some player's move, we calculate the product of the numbers in the row or column. If the product equals \(-1\) then the player who completed that row/column gets \(1\) point. (If a player completed a row and a column at the same time, and both products were \(-1\), then he scores two points). The game ends when all squares in the table are filled in. The player who gets more points wins. Which player has a winning strategy, if (A) \(n = 2021\); (B) \(n = 2022\)?

Dota rūtiņu tabula \(n \times n\). Ilmārs un Kims spēlē šādu spēli. Viņi pēc kārtas kādā vēl tukšā rūtiņā ieraksta skaitli \(1\) vai \(-1\). Spēli sāk Ilmārs. Ja pēc kāda spēlētāja gājiena tiek aizpildīta kāda rinda vai kolonna, tad tiek aprēķināts tajā esošo skaitļu reizinājums. Ja tas ir vienāds ar \(-1\), tad spēlētājs, kurš veica pēdējo gājienu, iegūst \(1\) punktu (ja spēlētājs ar savu gājienu vienlaicīgi pabeidz gan rindu, gan kolonnu un katrā skaitļu reizinājums ir \(-1\), tad viņš iegūst divus punktus). Spēle beidzas, kad tabula ir pilnībā aizpildīta. Uzvar spēlētājs, kurš iegūst visvairāk punktu. Kuram spēlētājam ir uzvaroša stratēģija, ja (A) \(n = 2021\); (B) \(n = 2022\)?

Is it possible to arrange the numbers
(A) \(0;\;1;\;2;\;3;\;4;\;5;\;6;\;7;\;8;\;9\)
(B) \(0;\;1;\;2;\;3;\;4;\;5;\;6;\;7;\;8;\;9;\;10;\;11;\;12;\;13\)
around a circle so that any two adjacent numbers differ by \(3\), \(4\), or \(5\)?

Vai pa apli var uzrakstīt skaitļus
(A) \(0;\;1;\;2;\;3;\;4;\;5;\;6;\;7;\;8;\;9\); (B) \(0;\;1;\;2;\;3;\;4;\;5;\;6;\;7;\;8;\;9;\;10;\;11;\;12;\;13\); tā, lai katri divi blakus esoši skaitļi atšķirtos par \(3\); \(4\) vai \(5\)?

The floor plan of the art museum shall is a rectangle of size (A) \(8 \times 9\); (B) \(9 \times 11\) squares, where one square corresponds to a single museum room. The director of the museum wants to create a visitor route that satisfies the following requirements:

• the route starts in one of the squares (rooms) at the edge of the rectangle;
• a visitor on his route can move from one square (room) to another square (room), if they share a common side.
• the visitor enters each square (room) exactly once during the route;
• the route ends in a square (room) at the edge of the rectangle and is located next to the square (room) that started the route.

Can the director of the museum create such route?

Mākslas muzeja plānojums ir taisnstūris ar izmēriem (A) \(8 \times 9\); (B) \(9 \times 11\) rūtiņas, kur viena rūtiņa atbilst vienai muzeja telpai. Muzeja vadītājs vēlas izveidot apmeklētāju maršrutu, kuram izpildās šādas īpašības:

• maršruts sākas kādā no rūtiņām (telpām), kas atrodas pie taisnstūra malas;
• apmeklētājs no vienas rūtiņas (telpas) var pāriet uz citu rūtiņu (telpu), ja tām ir kopīga mala;
• apmeklētājs maršruta laikā apmeklē katru rūtiņu (telpu) tieši vienu reizi;
• maršruts beidzas rūtiņā (telpā), kas atrodas pie taisnstūra malas blakus maršruta sākuma rūtiņai (telpai).

Vai muzeja vadītājs var izveidot šādu maršrutu?

What is the smallest positive integer that uses only the digits \(0\) and \(2\) in its notation and is divisible by \(15\)?

Kāds ir mazākais naturālais skaitlis, kura pierakstā izmantoti tikai cipari \(0\) un \(2\) un kurš dalās ar \(15\)?

Solve the equation \(3 \sin x + 4 \cos x = 6\) in real numbers.

Atrisināt reālos skaitļos vienādojumu \(3 \sin x + 4 \cos x = 6\).

On a dark autumn night, Maris decided to add up all the positive integers from \(1\) to \(n\), where \(n\) is some positive integer. Could it happen that Maris gets a sum whose last digit is
(A) \(8\), (B) \(9\)?

Tumšā rudens vakarā Māris izdomāja saskaitīt visus naturālos skaitļus no \(1\) līdz \(n\), kur \(n\) ir kāds naturāls skaitlis. Vai var gadīties, ka Māris ieguva summu, kuras pēdējais cipars ir (A) \(8\), (B) \(9\)?

Consider \(n\) consecutive positive integers. Can we divide them into two groups so that the sum of the numbers in each group is a prime number if (A) \(n = 8\), (B) \(n = 10\)? Each group must contain at least \(2\) numbers.

Apskatām \(n\) pēc kārtas ņemtus naturālus skaitļus. Vai var gadīties, ka tos var sadalīt divās grupās tā, ka katras grupas skaitļu summa ir pirmskaitlis, ja (A) \(n = 8\), (B) \(n = 10\)? Katrā grupā jābūt vismaz \(2\) skaitļiem.

There's a pile of candies on the table. Karlsson and Lillebror take turns making moves, with Karlsson starting the game. In one move, a player can remove from the pile and eat either one or two candies. The player who eats the last candy wins. Which player, can always win if there are initially (A) \(6\) candies in the heap; (B) \(2022\) candies in the heap?
(Note: Karlsson and Lillebror are characters from A.Lindgren's book Karlsson-on-the-Roof.)

Uz galda ir kaudze ar konfektēm. Karlsons un Brālītis pēc kārtas izdara gājienus, Karlsons sāk spēli. Vienā gājienā spēlētājs var paņemt no kaudzes un apēst vai nu vienu, vai divas konfektes. Uzvar tas spēlētājs, kurš apēd pēdējo konfekti. Kurš spēlētājs, pareizi spēlējot, vienmēr var uzvarēt, ja sākumā kaudzē ir (A) \(6\) konfektes; (B) \(2022\) konfektes?

All positive integers from \(1\) to \(2022\) are written on a piece of paper, each appearing once. First, Amanda circled all the numbers divisible by \(3\) in red. She then circled all the numbers divisible by \(5\) in blue. Finally, she circled all the numbers divisible by \(7\) in green. How many numbers are circled with at least two different colors?

Uz papīra lapas uzrakstīti visi naturālie skaitļi no \(1\) līdz \(2022\) (katrs vienu reizi). Vispirms Amanda ar sarkanu zīmuli apvilka visus skaitļus, kas dalās ar \(3\). Tad viņa ar zilu zīmuli apvilka visus skaitļus, kas dalās ar \(5\). Un visbeidzot viņa ar zaļu zīmuli apvilka visus skaitļus, kas dalās ar \(7\). Cik ir tādu skaitļu, kas ir apvilkti ar vismaz divām dažādām krāsām?

Is the inequality always true: \(x + \frac{9}{x} > y + \frac{9}{y}\), if (A) \(x > y > 0\), (B) \(x > y > 3\)?

Vai noteikti \(x + \frac{9}{x} > y + \frac{9}{y}\), ja (A) \(x > y > 0\), (B) \(x > y > 3\)?

Draw a hexagon with its sides on a square grid having perimeter equal to its area!
Note: The area is the number of little squares that make up the hexagon and the perimeter is the number of sides of the little squares on its border.

Pa rūtiņu līnijām uzzīmē tādu sešstūri, kuram perimetra un laukuma vērtības sakrīt!
Piezīme. Laukums ir sešstūri veidojošo rūtiņu skaits un perimetrs ir rūtiņu malu, kas pilnībā atrodas uz robežas, skaits.

The following text was written on the board: \(N597M\). Each of the letters \(N\) and \(M\) should be replaced by a digit (they may or may not be the same) so that the resulting five digit number is divisible by \(12\). In how many ways can you do this?

Uz tāfeles bija uzrakstīts šāds teksts: \(N597M\). Katrs no burtiem \(N\) un \(M\) jāaizstāj ar vienu ciparu (tie var būt arī vienādi) tā, lai iegūtais piecciparu skaitlis dalītos ar \(12\). Cik dažādos veidos to var izdarīt?

The student had to complete a homework with \(20\) tasks. For each task \(8\) points are added, if the solution is correct, \(5\) points are subtracted, if the solution is wrong, and \(0\) points is given, if the task is not attempted. How many tasks did a student solve correctly, if his total score is \(13\)?

Skolēnam tika uzdots mājas darbs, kurā bija \(20\) uzdevumi. Par katru pareizi atrisinātu uzdevumu tiek doti \(8\) punkti, par katru nepareizi atrisinātu uzdevumu tiek atņemti \(5\) punkti, ja uzdevums nav risināts, tad par to ir \(0\) punkti. Cik uzdevumus skolēns atrisināja pareizi, ja kopā viņš ieguva \(13\) punktus?

Five deputies (MPs) arrived at a restaurant and some of them shook hands with each other before lunch. It is known that if two deputies did not shake hands with each other, they did at least five handshakes together. Prove that deputies can be seated around a circular table so that each deputy has shaken hands with both people seated next to him/her.

Restorānā ieradās pieci deputāti un pirms pusdienām daži no viņiem paspieda viens otram roku. Zināms, ka, ja kādi divi deputāti nepaspieda viens otram roku, tad abi kopā viņi izdarīja vismaz piecus rokasspiedienus. Pierādīt, ka deputātus var sasēdināt ap apaļu galdu tā, lai katrs būtu paspiedis roku abiem saviem blakussēdētājiem!

The following text was written on the board: \(A869B\). Each of the letters \(A\) and \(B\) must be replaced by one digit (they may or may not be the same) so that the resulting five-digit number is divisible by \(15\). In how many ways can you do this?

Uz tāfeles bija uzrakstīts šāds teksts: \(A869B\). Katrs no burtiem \(A\) un \(B\) jāaizstāj ar vienu ciparu (tie var būt arī vienādi) tā, lai iegūtais piecciparu skaitlis dalītos ar \(15\). Cik dažādos veidos to var izdarīt?

Five friends started arguing, and they stated the following:

• Elina says: "I always speak the truth."
• Guna says: "Elina and Agnese are both lying."
• Maruta says: "Everyone speaks the truth."
• Agnese says: "Elina lies."
• Emils says: "Everyone lies."

It is known that each friend either always speaks the truth or always lies. How many friends speak the truth?

Piecu draugu lokā izvērsās strīds, kurā:

• Elīna saka: "Es vienmēr saku taisnību."
• Guna saka: "Gan Elīna, gan Agnese melo."
• Maruta saka: "Visi saka taisnību."
• Agnese saka: "Elīna melo."
• Emīls saka: "Visi melo."

Cik draugu saka taisnību?

Consider three real numbers \(a\), \(b\), \(c\) with \(abc = 1\). Prove that the equation

\[ax^4 + (2b + a)x^2 - 2cx + b^3c + bc + bc^3 = 0\]

has no real roots!

Doti reāli skaitļi \(a\), \(b\) un \(c\), kuriem \(abc = 1\). Pierādīt, ka vienādojumam

\[ax^4 + (2b + a)x^2 - 2cx + b^3c + bc + bc^3 = 0\]

nav reālu sakņu!

Some of \(272\) villagers always tell the truth, the remaining ones lie all the time. Each of the villagers has exactly one favourite day of the week. There was a poll of all the villagers, and they were asked to answer seven questions with either "Yes" or "No":

The number of "Yes" answers received to each question was as follows: Monday - \(53\), Tuesday - \(54\), Wednesday - \(55\), Thursday - \(57\), Friday - \(56\), Saturday - \(58\), Sunday - \(59\). How many villagers lie all the time?

Daži no \(272\) ciema iedzīvotājiem visu laiku saka patiesību, pārējie visu laiku melo. Katram no ciema iedzīvotājiem ir tieši viena mīļākā nedēļas diena. Aptaujājot iedzīvotājus, viņiem tika lūgts atbildēt uz septiņiem jautājumiem, katrā no tiem izvēloties vienu no dotajām atbildēm:

Uz katru jautājumu saņemto apstiprinošo ("jā") atbilžu skaits bija šāds: pirmdiena – \(53\), otrdiena – \(54\), trešdiena – \(55\), ceturtdiena – \(56\), piektdiena – \(57\), sestdiena – \(58\), svētdiena – \(59\). Cik ciema iedzīvotāju visu laiku melo?