No kvadrāta ar izmēriem \(10 \times 10\) rūtiņas izgriez sešpadsmit 6.att. redzamās figūras! Griezuma līnijām jāiet pa rūtiņu malām, figūras var būt pagrieztas vai apgāztas otrādi.

Mārtiņš augošā secībā pēc kārtas sāka rakstīt skaitļus, kuru pirmie četri cipari ir "\(3321\)":

\[3321; 33210; 33211; 33212; 33213; 33214;\ldots \]

Izliektā sešstūrī \(ABCDEF\) pretējās malas ir pa pāriem paralēlas, tas ir, \(AB \| DE\), \(BC \| EF\) un \(CD \| AF\). Zināms, ka \(AB=DE\). Pierādīt, ka \(BC=EF\) un \(CD=AF\).

Rindā pēc kārtas bez tukšumiem uzrakstīti visi skaitļi no \(1\) līdz \(999\):

\[123456789101112\ldots 998999.\]

Regulāras piecstūra plāksnītes virsotnēs pa vienai reizei uzrakstīti skaitļi \(1,2,3,4\) un \(5\). Divas šādas plāksnītes sauksim par dažādām, ja, pagriežot vai apmetot vienu plāksnīti otrādi, nevar panākt, ka visi vienas plāksnītes virsotnēs uzrakstītie skaitļi sakrīt ar otras plāksnītes virsotnēs uzrakstītajiem skaitļiem. Cik dažādas plāksnītes var izveidot?

Konditorejā ir \(4\) plaukti, kuros pārdevēja liek eklērus. No rīta šajos plauktos bija palikuši attiecīgi \(2, 9, 0, 4\) eklēri. Ik pēc \(20\) minūtēm pārdevēja izvēlas divus no šiem plauktiem un katrā no tiem ieliek \(1\) svaigi ceptu eklēru. Šodien eklēri nevienam negaršo, tāpēc neviens tos nepērk. Vai iespējams, ka kādā brīdī visos četros plauktos būs vienāds skaits eklēru?

Kāds ir lielākais skaits dažādu naturālu skaitļu, ko var izvēlēties, lai jebkuru trīs izvēlēto skaitļu summa būtu pirmskaitlis?

Pierādīt, ka katram \(n>2\) var atrast tādus \(n\) atšķirīgus naturālus skaitļus \(a_{1} < a_{2} < \cdots < a_{n} \leq 3 \cdot 2^{n-2}\), ka

\[\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\cdots+\frac{1}{a_{n}}=1\]

Uz tāfeles uzrakstīti \(k\) secīgi naturāli skaitļi:

\[a+1; a+2; \ldots ; a+k\]

Taisnes \(y=x\) un \(y = -2x+2022\) krustojas punktā \(A\). Punkti \(B\) un \(C\) ir attiecīgi šo taišņu krustpunkti ar \(y\) asi. Aprēķināt trijstūra \(ABC\) laukumu!

Kvadrātā \(ABCD\) novilkta diagonāle \(AC\) un uz tās atzīmēts punkts \(E\) tā, ka \(\sphericalangle DEC=75^{\circ}\). Nogriežņa \(DE\) pagarinājums krusto malu \(AB\) punktā \(F\). Pierādīt, ka \(EF=FB\)!

Pirmo \(n\) skaitļu reizrēķina tabula ir tabula ar \(n\) rindām un \(n\) kolonnām, kurā \(r\)-tajā rindā un \(k\)-tajā kolonnā ierakstīts skaitlis \(r \cdot k\) (visiem \(1 \leq r \leq n\) un \(1 \leq k \leq n\) ). Šī tabula ir izkrāsota šaha galdiņa veidā tā, ka rūtiņa, kas atrodas pirmās rindas pirmajā kolonnā ir nokrāsota melna (15.att. redzams piemērs, kur \(n=5\) ). Iekrāsotajās rūtiņās ierakstīto skaitļu summu apzīmēsim ar \(A\), bet neiekrāsotajās ar \(B\). Aprēķiniet \((A-B)\) vērtību (tā var būt atkarīga no \(n\) vērtības).

Zināms, ka trijstūra \(ABC\) leņķus \(\alpha, \beta\) un \(\gamma\) saista sakarība \(\sin ^{2} \alpha+\sin ^{2} \beta+\sin ^{2} \gamma=2\). Pierādīt, ka trijstūris \(ABC\) ir taisnleņķa trijstūris!

Attālināto mācību laikā skolēni iemācījās ļoti ātri atbildēt uz testa jautājumiem. Vilnis uz \(4\) jautājumiem var atbildēt \(30\) sekundēs, bet Raimonds uz pieciem jautājumiem var atbildēt \(40\) sekundēs. Skolotāja bija sagatavojusi testu ar ļoti daudz jautājumiem. Vilnim bija nepieciešama \(1\) stunda, lai atbildētu uz visiem šī testa jautājumiem. Cik ilgā laikā šo pašu testu izpildīja Raimonds?

Māris iedomājās naturālu skaitli \(n\). Pēc tam viņš izvēlējās vienu skaitļa \(n\) dalītāju, pareizināja to ar \(4\) un iegūto reizinājumu atņēma no dotā skaitļa \(n\), iegūstot vērtību \(11\). Kāda varēja būt \(n\) vērtība? Atrodi visus variantus un pamato, ka citu nav!

Skaitļi \(a; b; c\) (tieši šādā secībā) veido aritmētisko progresiju. Pierādīt, ka skaitļi \(a^{2}-bc\); \(b^{2}-ac\); \(c^{2}-ab\) (tieši šādā secībā) arī veido aritmētisko progresiju!

Trijzemē apgrozībā ir trīs veidu monētas: \(2\) centi, \(5\) centi un vēl viena. Zināms, ka gan trijkāji, kas maksā \(13\) centus, gan trīsriteni, kas maksā \(19\) centus, var nopirkt, maksājot tieši ar trīs monētām. Kāda ir Trijzemes trešās monētas vērtība? Atrodi visus iespējamos variantus un pamato, ka citu nav!

Sākumā uz tāfeles uzrakstīts skaitlis \(1221\). Ar to atļauts veikt šādas darbības:

• patvaļīgi mainīt uzrakstīto ciparu secību;
• ja skaitļa pēdējie divi cipari ir \(12\), tos drīkst nodzēst;
• ciparu grupu "\(21\)" var aizstāt ar "\(112233\)"
• ciparu grupu "\(223\)" var aizstāt ar "\(1\)".
• drīkst izsvītrot trīs vienādus pēc kārtas uzrakstītus ciparus.

Vai, atkārtojot vairākus šādus gājienus, ir iespējams iegūt skaitli \(121\)?

Karlsonam ir \(29\) milzīgi tortes gabali. Viņš izvēlas kādu no gabaliem un sagriež to vai nu \(3\), vai \(5\) mazākos gabalos. Tad viņš atkal izvēlas kādu no gabaliem un sagriež to vai nu \(3\), vai \(5\) mazākos gabalos. Vai, atkārtoti izpildot šādas darbības, Karlsons var iegūt tieši \(2022\) tortes gabalus?

Rindā pēc kārtas bez tukšumiem uzrakstīti visi skaitli no \(1\) līdz \(9999\):

\[123456789101112\ldots 99989999.\]

Uz trijstūra \(ABC\) malām \(AC\) un \(BC\) atlikti attiecīgi punkti \(M\) un \(K\). Nogriežņi \(AK\) un \(BM\) krustojas punktā \(O\). Aprēķināt trijstūra \(ABC\) laukumu, ja \(S_{AMO}=S_{BKO}=8\) un \(S_{KMO}=4\).

Doti pieci naturāli skaitļi. Šo skaitļu reizinājums apzīmēts ar \(R\), bet to piekto pakāpju summa ar \(S\). Zināms, ka \(S\) dalās ar \(1001\). Vai ir iespējams, ka \(R\) un \(S\) ir savstarpēji pirmskaitļi?

Doti divi lieli trauki A un B. Sākumā traukā A atrodas \(2021\) melna un \(2023\) baltas bumbiņas, bet traukā B - tikai melnas bumbiņas. Bumbiņu kopskaits abos traukos sākumā ir vienāds. Pēc kārtas tiek atkārtota šāda darbība:

uz labu laimi tiek paņemtas divas bumbinas no trauka A,

• ja tās ir vienādā krāsā, tad tās abas tiek ieliktas traukā B un viena melna bumbiņa no trauka B tiek ielikta traukā A;
• ja tās ir dažādās krāsās, tad baltā bumbiņa tiek ielikta atpakaļ traukā A, bet melnā - traukā B.

Šī darbība tiek atkārtota, līdz traukā A ir atlikusi tikai viena bumbiņa. Vai iespējams, ka tā būs melna?

Izliekta četrstūra \(ABCD\) diagonāle \(AC\) ir leņķa \(A\) bisektrise, \(AC=AD\) un \(\sphericalangle B=90^{\circ}\). Trijstūrī \(ADC\) novilkts augstums \(DH\). Pierādīt, ka taisne \(BH\) krusto nogriezni \(CD\) tā viduspunktā!

Izliektā sešstūrī \(ABCDEF\) pretējās malas ir pa pāriem paralēlas, bet dažāda garuma. Pierādīt, ka \(S_{ACE}=S_{BDF}\)!

Kādā dienā Karlsons uzlika uz galda \(44\) kūciņas. Lai būtu jautrāk, Karlsons izdomāja, ka vienā piegājienā viņš apēdīs vai nu \(5\) kūciņas, vai arī \(10\) kūciņas. Ja Karlsons apēda \(5\) kūciņas, tad Brālītis uzreiz uz galda uzlika \(9\) kūciņas. Ja Karlsons apēda \(10\) kūciņas, tad Brālītis uzreiz uz galda uzlika \(2\) kūciņas. Vai iespējams, ka kādā brīdī uz galda bija tieši \(2022\) kūciņas?

Vai taisnstūri ar izmēriem \(3 \times 3370\) rūtiņas var noklāt ar 8.att. redzamām figūrām tā, lai paliktu tieši \(2022\) nenoklātas rūtiņas? Dotās figūras malām jāiet pa rūtiņu līnijām, tā var būt pagriezta vai apgriezta spoguļattēlā, figūras nedrīkst pārklāties vai iziet ārpus taisnstūra.

Elektroniskais pulkstenis rāda stundu skaitu (vesels skaitlis robežās no \(0\) līdz \(23\)) un minūšu skaitu (vesels skaitlis robežās no \(0\) līdz \(59\)). Noteikt, cik reižu diennaktī stundu skaita un minūšu skaita starpība dalās ar \(7\).

Karlsonam ir \(30\) milzīgi tortes gabali. Viņš izvēlas trīs gabalus un sagriež katru no tiem vai nu \(3\), vai \(5\) mazākos gabalos (visus izvēlētos gabalus sagriež vienādā skaitā mazāku gabalu). Tad viņš atkal izvēlas kādus \(3\) gabalus un sagriež katru no tiem vai nu \(3\), vai \(5\) mazākos gabalos (visus izvēlētos gabalus sagriež vienādā skaitā gabalu). Vai, atkārtoti izpildot šādas darbības, Karlsons var iegūt tieši \(2000\) tortes gabalus?

No taisnstūra ar izmēriem \(6 \times 7\) rūtiņas izgriez sešas 3.att. redzamās figūras! Griezuma līnijām jāiet pa rūtiņu malām, figūras var būt pagrieztas vai apgāztas otrādi.

Dotās \(3 \times 3\) rūtiņu tabulas (skat. 1.att.) katrā rūtiņā ieraksti pa vienam naturālam skaitlim no \(3\) līdz \(11\) (katrā rūtiņā citu skaiti) tā, lai katrā rindā, katrā kolonnā un katrā diagonālē ierakstīto trīs skaitļu summas būtu vienādas! Daži skaitļi jau ir ierakstīti.

Četrciparu skaitli \(\overline{abcd}\) sauksim par ekscentrisku, ja neviens tā cipars nav \(0\) un tam ir spēkā vienādība \(\overline{ab}+\overline{cd}=\overline{bc}\). Piemēram, skaitlis \(1978\) ir ekscentrisks, jo \(19+78=97\). Cik pavisam ir ekscentrisku skaitļu?

Doti divi lieli trauki A un B. Sākumā traukā A atrodas \(2022\) melnas un \(2022\) baltas bumbiņas, bet traukā B - tikai melnas bumbiņas. Bumbiņu kopskaits abos traukos sākumā ir vienāds. Pēc kārtas tiek atkārtota šāda darbība: uz labu laimi tiek paņemtas divas bumbiņas no trauka A,

• ja tās ir vienādā krāsā, tad tās abas tiek ieliktas traukā B un viena melna bumbiņa no trauka B tiek ielikta traukā A;
• ja tās ir dažādās krāsās, tad baltā bumbiņa tiek ielikta atpakaļ traukā A, bet melnā - traukā B.

Šī darbība tiek atkārtota, līdz traukā A ir atlikusi tikai viena bumbiņa. Vai iespējams, ka tā būs balta?

Laine uz lapas uzrakstīja lielāko divciparu pirmskaitli, kuram abi cipari arī ir pirmskaitļi. Raimonds uz lapas uzrakstīja mazāko trīsciparu pirmskaitli. Kāda ir abu uzrakstīto skaitļu summa?

Piektdienas rītā Laine no savām mājām devās uz skolu. Kad viņa bija nogājusi \(20 \%\) no visa ceļa, viņai vēl bija jānoiet \(1200\) metri, lai nokļūtu līdz vietai, kur viņai būtu atlikuši vēl \(20 \%\) no visa ceļa. Cik kilometru ir no Laines mājām līdz skolai?

Punkts \(A\) ir parabolas \(y=x^{2}+50\) virsotne, bet punkts \(B\) ir parabolas \(y=x^{2}-2022x+47\) virsotne. Aprēķināt trijstūra \(AOB\) laukumu, ja punkts \(O\) ir koordinātu asu krustpunkts!

Kāds mazākais skaits rūtiņu jāaizkrāso taisnstūrī ar izmēriem \(8 \times 8\) rūtiņas, lai nevarētu atrast nevienu taisnstūri ar izmēriem \(1 \times 5\) rūtiņas (kurš var būt novietots gan horizontāli, gan vertikāli), kuram visas rūtiņas ir neaizkrāsotas?

Sporta preču veikalā ir daži vienriteņi, daži divriteņi un daži trīsriteņi, turklāt zināms, ka divriteņu ir vairāk nekā trīsriteņu. Emīls iegāja veikalā un redzēja septiņus riteņu sēdekļus un trīspadsmit riepas. Cik vienriteņu ir sporta preču veikalā?

Laine uz lapas uzrakstīja lielāko divciparu pirmskaitli, kuram abi cipari arī ir pirmskaitļi. Raimonds uzrakstīja mazāko divciparu pirmskaitli, kuram abi cipari arī ir pirmskaitļi. Kāda ir abu uzrakstīto skaitļu starpība?

Sākumā uz tāfeles uzrakstīts skaitlis \(2112\). Ar to atļauts veikt šādas darbības:

• patvaļīgi mainīt uzrakstīto ciparu secību;
• ja skaitļa pēdējie divi cipari ir \(12\), tos drīkst nodzēst;
• ciparu grupu "\(21\)" var aizstāt ar "\(22233\)"
• ciparu grupu "\(223\)" var aizstāt ar "\(1\)".

Vai, atkārtojot vairākus šādus gājienus, ir iespējams iegūt skaitli \(212\)?