Četrstūra \(ABCD\) malu \(AB\) un \(CD\) viduspunkti ir attiecīgi \(M\) un \(N\). Nogriežņu \(AD, BC\) un \(MN\) vidusperpendikuli krustojas vienā punktā. Pierādīt, ka \(AB=CD\).

Holivudas diētā katrās septiņās secīgās dienās kopā jāapēd tieši trīs sieriņi "Kārums", bet Bolivudas diētā - katrās vienpadsmit secīgās dienās kopā jāapēd tieši pieci sieriņi "Kārums". Kādu lielāko secīgu dienu skaitu var ievērot abas diētas vienlaicīgi?

Piezīme. Katru dienu var ēst veselu nenegatīvu skaitu sieriṇu.

Kvadrātu ar izmēriem \(9 \times 9\) rūtiņas pa rūtiņu līinjām sadalīja deviņos daudzstūros, kas katrs satur tieši \(9\) rūtiņas, un katru no tiem nokrāsoja citā krāsā. Katrā dotā kvadrāta rindā un katrā kolonnā atrodas tieši trīs dažādu krāsu rūtiņas. Pierādīt, ka visi iegūtie daudzstūri ir kvadrāti ar izmēriem \(3 \times 3\) rūtiņas!

Trapeces \(ABCD\) pamati ir \(AD\) un \(BC\). Leņķu \(BAD\) un \(ABC\) bisektrises krustojas punktā \(E\), bet leņķu \(BCD\) un \(CDA\) bisektrises - punktā \(F\). Pierādīt, ka \(EF=\frac{|AD+BC-AB-CD|}{2}\).

Uz regulāra trijstūra \(ABC\) malas \(AB\) kā uz diametra konstruēta pusriņķa līnija ārpus trijstūra. Punkti \(D\) un \(E\) atrodas uz šīs pusriņķa līnijas un dala to trīs vienādos lokos. Pierādīt, ka nogriežņi \(CD\) un \(CE\) sadala malu \(AB\) trīs vienāda garuma nogriežņos!

Pierādīt, ka trijstūra augstumi nevar būt \(19, 37\) un \(41\) vienību gari!

Pierādīt, ka katram naturālam \(K>1\) var atrast tādu naturālu skaitli, kas dalās ar \(7\) un kura ciparu summa ir \(K\).

Vienādsānu trijstūrī \(ABC\) virsotnes leņķis \(\sphericalangle ABC=\beta\). Ar centru punktā \(A\) un rādiusu \(AC\) novilkta riņķa līnija, kas krusto malas \(AB\) un \(BC\) attiecīgi punktos \(D\) un \(E\). Zināms, ka \(\sphericalangle ADE=12 \beta\). Aprēķināt \(\beta\) lielumu!

Sākumā uz papīra lapas uzrakstīts skaitlis \(16\). Ja uz lapas ir

• uzrakstīts skaitlis \(x\), tad uz tās atlauts uzrakstīt arī skaitli \(x^{2}\);
• uzrakstiti skaitļi \(x\) un \(y\), tad uz tās atļauts uzrakstīt arī skaitli \(|x-y|+1\).

Vai var panākt, lai uz lapas būtu uzrakstïts skaitlis \(2022\) (neviens uzrakstītais skaitlis netiek nodzēsts)?

Naturālu skaitli \(N\) sauksim par \(amizantu\), ja katru \(N\) secīgu naturālu skaitli reizinājums dalās ar \(N^{2}\). Kuri skaitlļi nav amizanti?

Vai eksistē tāds naturāls skaitlis, kuram vienlaikus izpildās šādas trīs īpašības:

• to reizinot ar \(2\), iegūst naturāla skaitļa kvadrātu;
• to reizinot ar \(3\), iegūst naturāla skaitļa kubu;
• to reizinot ar \(5\), iegūst naturāla skaitļa piekto pakāpi?

Pierādīt, ka katram naturālam \(K>1\) var atrast tādu naturālu skaitli, kas dalās ar \(13\) un kura ciparu summa ir \(K\).

Pierādīt, ka visiem reāliem skaitļiem \(x\) un \(y\) ir spēkā nevienādība \(x^{2}+5y^{2}+4xy-6y+9 \geq 0\).

Atrisināt reālos skaitļos vienādojumu sistēmu

\[\left\{\begin{array}{l} x^{2}=y+2 \\ y^{2}=x+2 \end{array}\right.\]

Vienādojuma \(x^{3}-14x^{2}+63x-91=0\) saknes ir trijstūra malu garumi, kas izteikti centimetros. Aprēķināt šī trijstūra laukumu!

Vienādojuma \(x^{3}-54 x^{2}+865 x-3480=0\) saknes ir trijstūra malu garumi, izteikti centimetros. Aprēķināt šī trijstūra laukumu!

Vienādojuma \(x^{3}-40 x^{2}+511x-2040=0\) saknes ir trijstūra malu garumi, kas izteikti centimetros. Aprēkināt šī trijstūra laukumu!

Atrisināt reālos skaitļos vienādojumu \(x^{2}-\cos x+1=0\).

Pierādīt, ka divu vai vairāku secīgu naturālu skaitļu kubu summa nevar būt pirmskaitlis!

Ziņkārīgs tūrists vēlas pastaigāties pa pilsētas ielām (plānā attēlotas kā rūtiņu malas) no krustojuma \(A\) līdz krustojumam \(B\) (skat. 2.att.), veicot pēc iespējas garāku ceļojumu un neatgriežoties nevienā krustojumā vairākas reizes. Kāds ir lielākais iespējamais ceļojuma garums, ja uzskatām, ka vienas rūtiņas mala ir vienu vienību gara?