Kurš no reizinājumiem \(2^{56} \cdot 7^{14}\) vai \(3^{28} \cdot 5^{21}\) ir lielāks?

Pierādīt, ka visus naturālos skaitļus no \(1\) līdz \(2022\) iespējams sakārtot rindā tā, ka katri divi blakus esoši skaitļi atšķiras vai nu par \(6\), vai par \(11\) .

Atrisināt reālos skaitļos vienādojumu \(4x^{4}-11x^{2}+9x-2=0\).

Vai izteiksmē \(\pm 1 \pm 2 \pm 3 \ldots \pm 119 \pm 120\) katru " \(\pm\) " zīmi iespējams aizstāt vai nu ar " + ", vai "-" tā, lai izteiksmes vērtība būtu a) 2023, b) 2022? Ja jā, tad kāds ir lielākais iespējamais "+" zīmju skaits attiecīgajā izteiksmē?

Tiešsaistes testā ir četri jautājumi, kurus izpilda secīgi un uzreiz tiek paziņots, vai iesniegtā atbilde ir pareiza. Uz katru jautājumu iespējamas tikai divas atbildes, no kurām viena ir pareiza, bet otra nav pareiza. Tiklīdz sniegtas nepareizas atbildes uz diviem jautājumiem, sistēma testa izpildi pārtrauc un tests nav ieskaitīts. Ja ir vismaz trīs pareizas atbildes, tests ir ieskaitīts. Kāda ir varbūtība, ka tests tiks ieskaitīts, atbildes minot?

Punkts \(P\) atrodas paralelograma \(ABCD\) iekšpusē. Pierādīt, ka \(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PD}\).

Sākumā turzā ir \(89\) konfektes. Karlsons un Brālītis pēc kārtas ēd no turzas konfektes. Pirmais sāk Karlsons un apēd vienu konfekti, bet katrā nākamajā gājienā spēlētājs var apēst tikpat konfektes, cik savā iepriekšējā gājienā apēda otrs, vai arī par vienu konfekti vairāk. Zaudē tas, kurš vairs nevar izdarīt gājienu. Kurš spēlētājs - Karlsons vai Brālītis - vienmēr var uzvarēt?

a) Pierādīt, ka katram pirmskaitlim \(p>3\) eksistē tāds naturāls skaitlis \(n\), ka \(p^{2}=24n+1\).

b) Atrast tādu saliktu skaitli \(k\), kuram eksistē tāds naturāls skaitlis \(m\), ka izpildās \(k^{2}=24m+1\).

Zināms, ka \(x\) un \(y\) ir dažādi cipari. Atrast visus tādus ciparus \(x\) un \(y\), ja zināms, ka skaitlis \(4x7yx3y31x\) dalās ar \(45\).

Vai var uzrakstīt rindā divus vieniniekus, divus divniekus, divus trijniekus un divus četriniekus (citus ciparus izmantot nedrīkst) tā, lai starp abiem vieniniekiem būtu uzrakstīts tieši viens cits cipars, starp abiem divniekiem - tieši divi citi cipari, starp abiem trijniekiem - tieši trīs citi cipari, starp abiem četriniekiem - tieši četri citi cipari?

Aprēķināt laukumu četrstūrim, kuru ierobežo taisnes \(y=1, x=-2, x=3, y=\frac{3}{5} x+\frac{21}{5}\).

Vai no taisnstūra ar izmēriem \(6 \times 12\) rūtiņas var izgriezt astoņas 7.att. redzamās figūras?

Punkts \(R\) ir nogriežņa \(KO\) iekšējs punkts, punkts \(P\) izvēlēts tā, ka \(\sphericalangle RPO=80^{\circ}\). Leņķu \(KRP\) un \(KOP\) bisektrises krustojas punktā \(A\). Aprēķināt \(\sphericalangle RAO\).

Zināms, ka \(x\) un \(y\) ir naturāli skaitļi un \(x+y\) dalās ar \(5\). Pierādīt, ka \(x^{5}+y^{5}\) dalās ar \(25\).

Vai piecu secīgu veselu skaitļu summa var būt a) \(2022\), b) \(2025\)?

Pierādīt, ka katru \(11\) pēc kārtas sekojošu naturālu skaitļu reizinājums dalās ar \(12^{4}\).

Rūtiņu lapā pa rūtiņu līnijām uzzīmēts taisnstūris ar izmēriem \(333 \times 555\) rūtiņas. Caur cik rūtiņām iet taisnstūra diagonāle? (Diagonāle iet caur rūtiņu, ja tā satur šīs rūtiņas iekšējus punktus.)

\(Piezīme.\) Taisnstūra diagonāle ir nogrieznis, kas savieno taisnstūra pretējās virsotnes.

Laboratorijā \(64\) mēģenēs atrodas siekalu paraugi (siekalu daudzums paraugā ir pietiekams vairākām pārbaudēm). Zināms, ka viens paraugs ir inficēts ar vīrusu. Laborantam ir \(6\) testa trauki, kuros var ieliet siekalas no mēģenēm, un \(6\) reaģenti, ko pieliet testa traukā izveidotajam siekalu maisījumam (tiklīdz reaģentu ielej testa traukā, tas uzrāda vai neuzrāda vīrusa klātbūtni, un pēc tam kļūst neaktīvs). Kā, izmantojot \(6\) testa traukus un \(6\) reaģentus, noskaidrot, kurā paraugā ir vīruss?

Divas rinķa līnijas \(\omega_{1}\) un \(\omega_{2}\) krustojas punktos \(X\) un \(Y\). Caur punktu \(X\) novilkta taisne \(t\), kas vēlreiz krusto rinķa līnijas \(\omega_{1}\) un \(\omega_{2}\) attiecīgi punktos \(A\) un \(B\), caur punktu \(Y\) paralēli \(t\) novilkta taisne, kas vēlreiz krusto riņka līnijas \(\omega_{1}\) un \(\omega_{2}\) attiecīgi punktos \(D\) un \(C\). Pierādīt, ka \(ABCD\) ir paralelograms.

Atrisināt reālos skaitļos vienādojumu \(x^{4}-4=3\left(x^{3}+x^{2}+x\right)\).

Gustavs, Ernests un Miķelis spēlē badmintonu. Katrā spēlē piedalās divi no viņiem, bet trešais stāv malā un vēro. Tas, kurš kādā spēlē zaudējis, iet malā un dod vietu tam zēnam, kurš šīs spēles laikā skatījies. Zināms, ka Gustavs piedalījies \(7\) spēlēs, bet Ernests - \(15\) spēlēs. Cik spēļu pavisam tika izspēlētas? Kas uzvarēja un kas zaudēja septītajā spēlē?

Atrisināt reālos skaitļos vienādojumu \(x^{3}-4 x^{2}+8=0\).

Doti punkti \(A(21; 1), B(20; 22)\) un \(C(10; 2)\). Uzrakstīt vienādojumu taisnei, kas iet caur punktu \(C\) paralēli taisnei \(AB\).

Dots trijstūris \(ABC\) un punkts \(M\) trijstūra iekšpusē. Pierādīt, ka \(MA+MB+MC > \frac{1}{2} P_{ABC}\).

Kādām reālām \(m\) vērtībām vienādojumam \(2x^{2}+(2m+3)x+3m=0\) ir vismaz viena vesela sakne?

Sākumā auzu pārslu batoniņš veikalā maksāja \(50\) centus. Pēc atlaides piešķiršanas visus šādus veikalā esošos auzu pārslu batoniņus pārdeva par \(31\) eiro un \(93\) centiem. Cik procentu atlaidi piešķīra, ja zināms, ka tā nepārsniedz \(50 \%\)?

Dots platleņķa vienādsānu trijstūris, kuram \(\sphericalangle ABC=20^{\circ}\). Pierādīt, ka \(3AC>AB\).

Vai rūtiņu lapā, kur katras rūtiņas malas garums ir viena vienība, var uzzīmēt tādu sešstūri, kura malas sakrīt ar rūtiņu līnijām un kura perimetrs un laukums ir \(60\) ?

Trapeces \(ABCD\) pamati ir \(AB\) un \(CD\). Diagonāles \(AC\) un \(BD\) krustojas punktā \(E\). Pierādīt, ka \(S_{ABE} \cdot S_{ABCD}=S_{ABC}^{2}\) !

Vai var uzrakstīt rindā divus vieniniekus, divus divniekus un divus trijniekus (citus ciparus izmantot nedrīkst) tā, lai starp abiem vieniniekiem būtu uzrakstīts tieši viens cits cipars, starp abiem divniekiem - tieši divi citi cipari, starp abiem trijniekiem - tieši trīs citi cipari?

Pansionātam ir astoņi stāvi un tajā ir trīs lifti. Katrs lifts apstājas pirmajā stāvā, astotajā stāvā un vēl četros citos stāvos. Vai liftu apstāšanos var izkārtot tā, lai pansionāta iemītnieki no katra stāva var nokļūt jebkurā citā stāvā bez pārkāpšanas citā liftā?

Dota \(3 \times 3\) rūtiņu tabula. Vai iespējams katrā rūtiņā ierakstīt naturālu skaitli no \(1\) līdz \(9\) (katrā rūtiņā citu skaitli) tā, lai rūtiņās, kurām ir kopīga mala, ierakstīto skaitļu starpība nepārsniedz a) \(2\), b) \(3\) ?

Rūtiņu lapā pa rūtiņu līnijām uzzīmēts taisnstūris ar izmēriem \(444 \times 777\) rūtiņas. Caur cik rūtiņām iet taisnstūra diagonāle? (Diagonāle iet caur rūtiņu, ja tā satur šīs rūtiņas iekšējus punktus.)

\(Piezīme.\) Taisnstūra diagonāle ir nogrieznis, kas savieno taisnstūra pretējās virsotnes.

Dagnis savā telefonā no \(10\) klases biedriem ir saņēmis \(54\) jaunas ziņas, no katra klases biedra vismaz vienu ziņu. Vai var gadīties, ka nekādi divi klases biedri nav atsūtīujši vienādu skaitu jauno ziņu?

Dots izliekts četrstūris \(ABCD\), kuram \(AB=BC=CD\). Četrstūra diagonāles krustojas punktā \(E\). Pierādīt, ka leņķu \(BAD\) un \(ADC\) bisektrišu krustpunkts atrodas uz trijstūrim \(ADE\) apvilktās riņķa līnijas.

Vai visi naturāli skaitļi, kuru ciparu summa dalās ar \(27\) , arī paši dalās ar \(27\)?

Rindā uzrakstīti skaitļi no \(1\) līdz \(2022\) (ieskaitot). Divi spēlētāji pēc kārtas izsvītro pa vienam skaitlim no rindas tik ilgi, kamēr rindā paliek tikai divi skaitļi (katrā gājienā var izsvītrot jebkuru no palikušajiem skaitļiem). Pirmais spēlētājs (tas spēlētājs, kurš sāk spēli) uzvar, ja divu beigās palikušo skaitļu lielākais kopīgais dalītājs ir lielāks nekā \(1\), bet otrais uzvar, ja divu beigās palikušo skaitļu lielākais kopīgais dalītājs ir \(1\). Pierādīt, ka, lai kā arī spēlētu pirmais spēlētājs, otrais spēlētājs vienmēr var uzvarēt!

Uzraksti vienu piemēru, kādus naturālus skaitļus var ierakstīt \(a, b, c, d\) vietā, lai dotās nevienādības būtu patiesas!

\[ \frac{2}{5}<\frac{a}{d}<\frac{b}{d}<\frac{c}{d}<\frac{1}{2} \]

Pierādīt, ka \(p^{4}-1\) dalās ar \(240\) katram pirmskaitlim \(p \geq 7\).

Kā sadalīt \(10\) virtuļus \(12\) bērniem vienādās daļās tā, lai katrs virtulis tiktu sadalīts ne vairāk kā \(3\) daļās?