Dotam naturālam skaitlim \(k>1\) torni būvē šādi: simetriski attiecībā pret vertikālu simetrijas asi pirmajā rindā blakus saliek \(k\) kvadrātus, otrajā rindā saliek \((k-1)\) kvadrātu, trešajā rindā saliek \((k-2)\) kvadrātus utt. līdz \(k\)-ajā rindā liek vienu kvadrātu (skat. 9.att., kur parādīts tornis, ja \(k=4\)). No torņa pirmās rindas kreisā malējā kvadrāta kreisās apakšējās virsotnes \(O\) novelk staru, kas torni sadala divās vienlielās figūrās. Pierādīt, ka bezgalīgi daudzām \(k\) vērtībām šis stars iet caur kādas rindas labā malējā kvadrāta labo augšējo virsotni!

Naturāls skaitlis \(S\) ir izsakāms formā \(S=9n^{2}+42n\), kur \(n\) ir kāds naturāls skaitlis. Pierādīt, ka, ja \(S\) pēdējais cipars ir \(6\), tad tā priekšpēdējais cipars ir \(7\).

Vienādmalu trijstūra \(ABC\) malas garums ir \(15\). Uz malas \(AB\) atlikts punkts \(D\) tā, ka \(AD=5\), bet uz malas \(AC\) - punkts \(E\) tā, ka \(AE=3\). Pierādīt, ka nogriežņi \(BE\) un \(CD\) ir perpendikulāri!

Taisnstūrveida tabulā, kurā ir \(19\) rindas un \(14\) kolonnas, ierakstīti kaut kādi reāli skaitļi. Zināms, ka skaitļu summa katrā 6.att. dotajā figūrā ir \(1\), turklāt šī figūra var būt pagriezta vai apmesta otrādi. Aprēķināt skaitļu summu pirmajā rindā!

Pierādìt, ka \(\sqrt[3]{6 \sqrt{3}+10}-\sqrt[3]{6 \sqrt{3}-10}=2\).

Dota ģeometriskā progresija \(x_{1}; x_{2}; x_{3}; x_{4}; x_{5}; x_{6}\), kuras locekļi ir pozitīvi skaitļi. Zināms, ka \(x_{4}+x_{3}-x_{2}-x_{1}=3\). Pierādīt, ka \(x_{5}+x_{6} \geq 12\).

\(\textit {Piezīme.}\) Ģeometriskā progresija ir skaitļu virkne, kuras pirmais loceklis ir \(x_{1}\) un katru nākamo virknes locekli iegūst, iepriekšēo reizinot ar kādu fiksētu skaitli \(q\), tas ir, \(x_{2}=qx_{1}, x_{3}=qx_{2}\) utt.

Atrast visus naturālu skaitļu pārus \((m; n)\), kuriem ir spēkā vienādība \(m^{5}+5n^{4}=81m\).

Dota taisnleņķa trapece \(ABCD\), tās pamati ir \(AD\) un \(BC\) un \(AB \perp AD\). Uz malas \(AB\) izvēlēts punkts \(P\) tā, ka \(\sphericalangle CPD=90^{\circ}\). Pierādīt, ka \(BP=BC\) vai \(BP=AD\), ja zināms, ka \(AB=AD+BC\).

Naturālu skaitli sauksim par elegantu, ja tā decimālajā pierakstā nav nevienas nulles un šis skaitlis dalās ar savu ciparu summu. (Eleganti ir visi viencipara skaitli, kā arī, piemēram, skaitļi \(36\) un \(322\).) Pierādīt, ka ir bezgalīgi daudz elegantu skaitļu!

Trijstūrī \(ABC\) ievilktā riņķa līnija pieskaras tā malām \(AB, BC\) un \(AC\) attiecīgi punktos \(C_{1}, A_{1}\) un \(B_{1}\). Taisne, kas vilkta caur punktu \(A\) paralēli \(BC\), un taisne \(A_{1}C_{1}\) krustojas punktā \(K\). Pierādīt, ka \(\sphericalangle KB_{1}A_{1}=90^{\circ}\).

Pierādīt, ka kvadrātu var sagriezt sešos taisnstūros, kuriem visiem īsākās malas attiecība pret garāko ir \(2-\sqrt{2}\).

Uz tāfeles sākumā uzrakstīts vienādojums \(2019x^{2}+2020x+2021=0\). Divi spēlētāji pēc kārtas izdara gājienus, pirmais spēlētājs sāk. Vienā gājienā var izvēlēties jebkuru no trim koeficientiem vienādojuma kreisajā pusē (pie \(x^{2}\), pie \(x\) vai brīvo locekli) un no tā atņemt vieninieku. Zaudē tas spēlētājs, pēc kura gājiena uz tāfeles uzrakstītajam vienādojumam ir kāda vesela sakne. Kurš spēlētājs - pirmais vai otrais - uzvarēs, pareizi spēlējot?

Dota ģeometriskā progresija \(y_{1}; y_{2}; y_{3}; y_{4}; y_{5}; y_{6}\), kuras locekļi ir pozitīvi skaitļi. Zināms, ka \(y_{4}+y_{3}-y_{2}-y_{1}=15\). Kāda ir \(y_{5}+y_{6}\) mazākā iespējamā vērtība?

Atrast visus veselu skaitļu pārus \((a; b)\), kuriem

\[(19a+b)^{18}+(a+b)^{18}+(a+19b)^{18}\]

ir kāda vesela skaitļa kvadrāts.

Dotas \(8\) kastes, sākumā tās visas ir tukšas. Divi spēlētāji spēlē sekojošu spēli, pirmais spēlētājs sāk. Vienā gājienā var izvēlēties jebkuras \(7\) kastes un katrā no tām ielikt vienu ābolu (āboli ir pieejami pietiekamā daudzumā). Uzvar tas spēlētājs, pēc kura gājiena kādā no kastēm ir tieši \(15\) āboli. Kurš spēlētājs - pirmais vai otrais - uzvarēs, pareizi spēlējot?

Doti reāli pozitīvi skaitļi \(x, y, z\). Pierādīt, ka

\[\frac{x^{2}+y^{2}}{x+y}+\frac{y^{2}+z^{2}}{y+z}+\frac{z^{2}+x^{2}}{z+x} \geq x+y+z\]

Agita ir iedomājusies naturālu skaitli \(x\), kura ciparu summa ir \(2021\), un Konstantīns cenšas skaitli uzminēt. Vienā gājienā Konstantīns nosauc patvaļīgu naturālu skaitli \(a\), un Agita viņam pasaka skaitļa \(|x-a|\) ciparu summu. Kāds ir mazākais gājienu skaits, ar kuru Konstantīnam noteikti pietiek, lai uzzinātu Agitas iedomāto skaitli?

Dots, ka \(a\) un \(b\) ir kaut kādi reāli skaitļi. Pierādīt, ka vismaz vienam no vienādojumiem

\[\begin{aligned} & x^{2}+2ax+b=0 \\ & ax^{2}+2bx+1=0 \\ & bx^{2}+2x+a=0 \end{aligned}\]

ir atrisinājums.

Izliektā četrstūrī \(ABCD\) ir spēkā \(\sphericalangle CBD=\sphericalangle CAB\) un \(\sphericalangle ACD=\sphericalangle ADB\). Pierādīt, ka no nogriežņiem \(BC, AD, AC\) var salikt taisnleņķa trijstūri!

Dots naturāls skaitlis \(n\). Pierādīt, ka \(4n \times 4 n\) rūtiņu tabulā var aizkrāsot \(4n^{2}\) rūtiņas tā, ka katrā rindā un katrā kolonnā ir aizkrāsotas tieši \(n\) rūtiņas un nekādām divām aizkrāsotām rūtiņām nav kopīgu punktu (tas ir, iekrāsotās rūtiņas neatrodas blakus un nesaskaras pat ar stūriem).