Uz kvadrāta \(ABCD\) malas \(AD\) izvēlēts punkts \(E\) tā, ka \(AB+AE=CE\). Aprēḳināt \(S_{CED}\), ja \(AB=1\).

Dots, ka \(8ac + 2bc + c^{2}<0\). Pierādīt, ka \(b^{2}-8ac>0\).

Torte sagriezta \(12\) gabaliņos (skat. 8. att.). Brālītis un Karlsons pēc kārtas izdara gājienus, Brālītis sāk pirmais. Vienā gājienā var apēst vai nu vienu tortes gabalinu, vai divus blakus esošus gabaliņus (blakus esoši gabaliņi ir gabaliņi, kam ir kopīga mala). Uzvar tas, kurš apēd pēdējo gabaliņu. Kurš uzvarēs, pareizi spēlējot, un kā vinam jārīkojas?

Maruta un Elīna raksta olimpiādes uzdevuma atrisinājumu. Maruta sāka rakstīt atrisinājumu, pēc tam, kad viņa bija rakstījusi \(1~\mathrm{h}\) un \(12~\mathrm{min}\), Elīna turpināja rakstīt risinājumu un pēc \(3~\marthrm{h}\) to pabeidza. Cik ilgā laikā uzdevuma atrisinājumu varētu uzrakstīt Maruta un Elīna, strādājot atsevišķi, ja zināms, ka Elīnai nepieciešams par \(2~\mathrm{h}\) vairāk laika atrisinājuma uzrakstīšanai nekā Marutai?

Aplūkosim lineāras funkcijas \(y=bx-71+m\), kur koeficientus \(b\) un \(m\) saista sakarība \(b+2m=2021\). Pierādīt, ka visu šādu funkciju grafiki krustojas vienā punktā!

Doti \(120\) dažādi naturāli skaitļi, tie sadalīti pa pāriem tā, ka katrā pārī skaitļu summa ir lielāka nekā 1000. Pierādīt, ka, ja šos dotos \(120\) skaitļus uzrakstītu rindā augošā secībā, tad 22. un 99. skaitļa summa arī būtu lielāka nekā \(1000\).

Šaha turnīrā katrs dalībnieks ar katru izspēlēja tieši vienu partiju. Katrā partijā par uzvaru tiek piešķirts \(1\) punkts, par neizšķirtu tiek piešķirti \(0.5\) punkti, par zaudējumu - \(0\) punkti. Turnīra beigās izrādījās, ka katra dalībnieka uzvaru skaits nepārsniedz tā neizšķirtu skaitu un nav divu dalībnieku, kuri kopsummā būtu ieguvuši vienādu punktu skaitu. Vai iespējams, ka turnīrā piedalījās (A) \(15\) dalībnieki, (B) \(16\) dalībnieki?

Trijstūrī \(ABC\) novilkta bisektrise \(AE\). Uz taisnes \(AE\) atlikts punkts \(D\), tā ka \(AD=AB+AC\) un punkts \(E\) atrodas starp punktiem \(A\) un \(D\). Pierādīt, ka \(\triangle BCD\) ir vienādmalu trijstūris, ja zināms, ka \(\Varangle BAC=120^{\circ}\).

Atrast mazāko naturālo skaitli \(k\), kuram izpildās sekojoša īpašība: nevienam pirmskaitlim \(p\) skaitlis \(p+1\) nav naturāla skaitļa \(k\)-tā pakāpe.

Kādus pirmskaitļus var izteikt formā

\[|n-1|+|n-2|+|n-3|+|n-4|+|n-5|+|n-6|+|n-7|,\]

Vai ar 2.att. figūrām, kas sastāv no \(4\) rūtiņām, var noklāt rūtiņu laukumu, kura izmērs ir (A) \(6 \times 7\), (B) \(3 \times 8\) rūtiņas? Figūras nedrīkst pārklāties un iziet ārpus laukuma robežām, tās drīkst pagriezt un "apmest otrādi".

Pa \(4.5~\mathrm{km}\) garu trasi, kurai ir riņka līnijas forma, ar sniega motocikliem brauc Māris un Mārtiņš. Māris sekundē nobrauc par \(1\) metru vairāk nekā Mārtiņš, tāpēc visu trasi veic par \(50\) sekundēm ātrāk nekā Mārtiņš. Ar kādu ātrumu brauc Māris un Mārtiņš?

Šogad uz Novadijas 5. klašu matemātikas olimpiādi ir reǵistrējušies 1270 skolēni, kuriem jautāja par mācību priekšmetiem (matemātika, sociālās zinības, latviešu valoda), kuri tiem patīk:

• \(400\) dalībniekiem patīk matemātika un arī latviešu valoda, bet nepatīk sociālās zinības;
• \(100\) dalībniekiem patīk matemātika un arī sociālās zinības, bet nepatīk latviešu valoda;
• \(40\) dalībniekiem patīk latviešu valoda un arī sociālās zinības, bet nepatīk matemātika;
• \(90\) dalībniekiem patīk tikai sociālās zinības;
• latviešu valoda patīk \(531\) dalībniekam;
• visi trīs priekšmeti patīk \(71\) dalībniekam.

Zināms, ka katram no skolēniem patīk vismaz viens no šiem priekšmetiem. Cik dalībniekiem patīk tikai matemātika?

Taisnstūrveida rūtiņu tabulā ar \(n\) rindām un \(m\) kolonnām (\(n>1\), \(m>1\)) katrā rūtiņā ierakstīts atšķirīgs naturāls skaitlis. Sākumā rūtinās ierakstītie skaitļi pa rindām bija sakārtoti augošā secībā (katrā rindā visi skaitļi no katras rūtiņas pa labi ir lielāki, bet pa kreisi - mazāki nekā tajā esošais skaitlis). Pēc tam visas kolonnas sakārtoja augošā secībā (katrā kolonnā visi skaitli virs katras rūtinas ir mazāki, bet zem - lielāki nekā tajā esošais skaitlis). Pierādīt, ka pēc pārkārtošanas tabulā ierakstītie skaitlii pa rindām joprojām ir sakārtoti augošā secībā.

Doti \(500\) dažādi naturāli skaitļi, tie sadalīti pa pāriem tā, ka katrā pārī skaitļu summa ir lielāka nekā \(2000\). Pierādīt, ka, ja šos 500 dotos skait|us uzrakstītu rindā augošā secībā, tad 146. un 376. skaitļu summa būtu lielāka nekā \(2021\).

Naturālu skaitli sauc par īpašu, ja tas ir vienāds ar četru savu dažādu dalītāju summu.

(A) Atrodi vienu īpašu skaitli!
(B) Pierādi, ka īpašo skaitļu ir bezgalīgi daudz!
(C) Pierādi, ka visi īpašie skaitļi ir pāra skaitli.

Vai var gadīties, ka 7.att. dotās taisnes ir funkciju \(y=ax+b\), \(y=bx-c\) un \(y=cx+a\) grafiki (grafiki nav doti mērogā)?

Neaizsalušas upes krastā \(50~\mathrm{km}\) attālumā atrodas divas piestātnes Novadija un Olimpija, no kurām vienlaicīgi izbrauca Rihards un Kalvis. Rihards ar laivu izbrauca no Novadijas un brauca pret straumi, bet Kalvis ar laivu izbrauca no Olimpijas un brauca pa straumi. Pēc \(3\) stundām abi sastapās. Aprēķināt abu braucēju laivu ātrumu stāvošā ūdenī, ja zināms, ka ātrumi stāvošā ūdenī ir vienādi un upes straumes ātrums ir \(5~\mathrm{km}/\mathrm{h}\).

Aplūkosim funkcijas \(y=ax^{2}+2x+2b\), kuru koeficienti \(a\) un \(b\) ir reāli skaitļi, kurus saista sakarība \(a+18b=2021\). Pierādīt, ka visu šo funkciju grafikiem ir divi kopīgi punkti.

Taisnstūris salikts no četriem vienības kvadrātiem. Aprēḳināt iekrāsotā četrstūra (skat. 6. att.) laukumu un leņķus.

Pierādīt, ka nevienai naturālai \(n\) vērtībai izteiksmes \(n^{2}-n+36\) vērtība nedalās ar (A) \(165\); (B) \(169\).

Naturālu skaitli sauksim par tīri jauku, ja to iespējams izteikt formā \(a \cdot b+c \cdot d\), kur \(a, b, c, d\) - dažādi naturāli skaitli, kas lielāki nekā \(1\). Piemēram, skaitlis \(100\) ir tīri jauks, jo \(100=7 \cdot 10+5 \cdot 6\). Pierādīt, ka jebkuru divu tīri jauku skaitļu summa arī ir tīri jauks skaitlis.

Ieraksti \(5 \times 6\) rūtiņu laukumā \(14\) plusus un \(16\) mīnusus (katrā rūtiņā tieši vienu zīmi) tā, lai katram plusam blakus rūtiņās atrastos tieši divi mīnusi! Rūtiņas atrodas blakus, ja tām ir kopīga mala.

Dotas deviņas kārtis ar cipariem no \(1\) līdz \(9\), uz katras kārts uzrakstīts atšķirīgs cipars. Kāds mazākais skaits kāršu jāizvelk (nezinot to vērtības), lai no tām noteikti varētu izveidot divciparu skaitli, kurš dalās ar \(7\) (veidojot divciparu skaitli, katru kārti drīkst izmantot ne vairāk kā vienu reizi)?

Dota aritmētiskā progresija un ǵeometriskā progresija, kurām abām pirmais loceklis ir \(2\). Aritmētiskās progresijas otrais loceklis ir par \(0.25\) lielāks nekā ǵeometriskās progresijas otrais loceklis, bet trešais loceklis abām progresijām ir vienāds. Aprēķināt aritmētiskās progresijas pirmo piecu locekļu summu.

Doti tādi skaitļi \(a,b\) un \(c\), ka \(a+c=\frac{b}{2021}\), turklāt neviens no skaitļiem \(a,b,c\) nav \(0\). Pierādīt, ka vienādojumam \(ax^{2}+bx+c=0\) ir sakne, kas atrodas intervālā \([-1;1]\).

Šogad uz Olimpijas 6. klašu matemātikas olimpiādi ir reǵistrējušies 1243 skolēni, kuriem jautāja par mācību priekšmetiem (matemātika, dabas zinības, vizuālā māksla), kuri tiem patīk:

• dabas zinības patīk \(700\) dalībniekam;
• 500 dalībniekiem patīk matemātika un arī dabas zinības, bet nepatīk vizuālā māksla;
• 150 dalībniekiem patīk matemātika un arī vizuālā māksla, bet nepatīk dabas zinības;
• 50 dalībniekiem patīk dabas zinības un arī vizuālā māksla, bet nepatīk matemātika;
• 20 dalībniekiem patīk tikai vizuālā māksla;
• 30 dalībniekiem patīk tikai dabas zinības.

Zināms, ka katram no skolēniem patīk vismaz viens no šiem priekšmetiem. Cik dalībniekiem patīk tikai matemātika?

Vai var gadities, ka 1.att. ir doti funkciju \(y=ax^{2}+bx+c\) un \(y=bx^{2}+cx+a\) grafiki? Funkciju grafiki nav zīmēti mērogā.

Ciemi \(A,B,C,D,E\) savienoti ar ceļiem tā, kā tas parādīts 4.att. (mērogs nav ievērots). Blakus katram ceļam norādīts tā garums kilometros.

(A) Vai pa ceļiem var veikt maršrutu, kas sākas pilsētā \(A\), beidzas pilsētā \(A\) un kura kopgarums ir tieši \(95~\mathrm{km}\)?

(B) Vai pa ceļiem var veikt maršrutu, kas sākas pilsētā \(A\), beidzas pilsētā A un kura kopgarums ir tieši \(95~\mathrm{km}\), ja ceļš \(CD\) ir slēgts (tas ir, pa ceļu \(CD\) nedrīkst braukt)?

Piezīme. Sākot braukt pa kādu ceļu, pa to jābrauc līdz galam.

Kvadrāta \(ABCD\), kura malas garums ir \(1\), malas \(AB\) viduspunkts ir \(E\) un malas \(BC\) viduspunkts ir \(F\). Nogrieznis \(AF\) krusto \(ED\) un \(EC\) attiecīgi punktos \(G\) un \(H\), bet \(FD\) un \(EC\) krustojas punktā \(I\). Aprēķināt četrstūra \(DGHI\) laukumu.

Doti naturāli skaitļj \(a\) un \(b\), kas lielāki nekā 1. Zināms, ka gan \(a^{2}+b\), gan \(b^{2}+a\) ir pirmskaitli. Pierādīt, ka \(a+b\) un \(a b+1\) ir savstarpēji pirmskaitļi.

Divi vienādi vienādsānu trijstūri \(ABC\) un \(DEF\) (\(AB=AC=DE=DF\) un \(BC=EF\)) krustojoties veido četrstūri \(PQRS\) (skat. 5. att.), kuram var apvilkt riņķa līniju. Pierādīt, ka divi no četrstūra \(PQRS\) leņķiem ir taisni.