Sākums > Olimpiādes > LV.VOL.2020
Dota funkcija \(f(x)=mx^{2}+(m-1)x+\frac{2020}{m-2019}\). Ar kādām parametra \(m\) vērtībām funkcija ir augoša intervālā \((1; 2)\) ?
Kādā valstī ir \(2020\) pilsētas, katra ar katru ir savienota ar ceļu, ceļi ārpus pilsētām nekrustojas (izmantoti viadukti). Biznesmenis ar ceļu pārvaldi spēlē šādu spēli: katru dienu biznesmenis privatizē vienu ceļu, bet ceļu pārvalde nojauc desmit neprivatizētus ceļus. Pierādīt, ka biznesmenis var panākt, ka pēc kāda laika viņam pieder ciklisks ceļu maršruts kas iet caur tieši \(70\) pilsētām, katrā iegriežoties tieši vienu reizi!
Četrstūris \(ABCD\) ievilkts riņka līnijā. Pierādīt, ka trijstūros \(ABC, BCD, CDA, DAB\) ievilkto riņķa līniju centri ir taisnstūra virsotnes!
Zināms, ka četrciparu skaitlis \(\overline{abcd}\) ir pirmskaitlis un ka vienādojumam \(ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0\) ir trīs reālas saknes. Vai var gadīties, ka visas šīs saknes ir a) veseli skaitļi, b) racionāli skaitļi?
Vai eksistē tādi četri dažādi a) naturāli skaitļi, b) pirmskaitļi \(a, b, c, d\), ka vienlaicīgi izpildās šādi nosacījumi:
Aplūkojam virkni \(1 ; 2 ; 2 ; 3 ; 3 ; 3 ; 4 ; 4 ; 4 ; 4 ; 5 ; 5 ; 5 ; 5 ; 5 ; 6 ; 6 ; 6 ; 6 ; 6 ; 6 ; \ldots\), kurā katrs naturālais skaitlis \(k\) tiek atkārtots \(k\) reizes. Pierādīt, ka šīs virknes \(n\)-to locekli var aprēķināt pēc formulas \(\left[\sqrt{2n}+\frac{1}{2}\right]\).
Ar \([x]\) apzīmējam skaitļa veselo daļu, tas ir, lielāko veselo skaitli, kas nepārsniedz \(x\). Piemēram, \([3,1]=3,[17]=17\), \([6,99]=6\).
Punkts \(R\) atrodas uz stara \(OB\) un punkti \(P\) un \(Q\) atrodas uz stara \(OA\) tā, ka \(OP < OQ\) un \(\sphericalangle ORP=\sphericalangle BRQ\). leņķa \(RPA\) bisektrise krusto staru \(OB\) punktā \(T\). Pierādīt, ka \(QT\) ir \(\sphericalangle RQA\) bisektrise!
Pierādīt, ka skaitlim \(2019^{3}+2020^{3}+2021^{3}\) ir vismaz \(20\) dažādi pozitīvi dalītāji!
Noteikt izteiksmes \((x+y+z)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\) vislielāko un vismazāko vērtību, ja \(1 \leq x, y, z \leq 2020\).
Atrast lielāko naturālo skaitli \(N\), kuram ir spēkā īpašība: lai kuras \(N\) rūtiņas būtu aizkrāsotas \(4 \times 4\) rūtiņu tabulā, vienmēr varēs izvēlēties divas rindas un divas kolonnas tā, ka katra aizkrāsotā rūtiņa atrodas vai nu izvēlētajā rindā, vai izvēlētajā kolonnā (vai abās).
Kādām naturālām \(n\) vērtībām izteiksmes \(\frac{(3n-1)(n+4)}{n+2}\) vērtība ir vesels skaitlis?
Riņka līnijā \(\omega\) ievilkta vienādsānu trapece \(ABCD\), punkts \(H\) ir garākā pamata \(AB\) viduspunkts. Punkts \(M\) ir viduspunkts tam lokam \(AB\), kas nesatur punktus \(C\) un \(D\). Taisnes \(CD\) un \(AM\) krustojas punktā \(X\). Zināms, ka nogriežņi \(HX, DM\) un \(AC\) krustojas vienā punktā \(Y\) un \(DM=AC\). Pierādīt, ka \(AB^{2}=2CD^{2}\).
Zināms, ka trīsciparu skaitlis \(\overline{abc}\) ir pirmskaitlis un ka vienādojumam \(ax^{2}+bx+c=0\) ir divas reālas saknes. Vai var gadīties, ka šīs saknes ir a) veseli skaitļi, b) racionāli skaitļi?
Taisnleņķa trijstūrī \(ABC\), kurā \(\sphericalangle ABC=90^{\circ}\), novilkts augstums \(BD\), nogriežņa \(BD\) viduspunkts ir \(E\). Punkti \(F\) un \(G\) ir attiecīgi nogriežņu \(AD\) un \(CD\) viduspunkti. Pierādīt, ka \(\sphericalangle AEC+\sphericalangle FBG=180^{\circ}\).
G̣eometriskās progresijas pirmais, desmitais un \(2020~\mathrm{-ais}\) loceklis ir naturāls skaitlis. Vai noteikti arī tās \(2019~\mathrm{-ais}\) loceklis ir naturāls skaitlis?
Atrast visus naturālos skaitļus \(B\) intervālā \(1 < B < 99\), kuriem izpildās šāda īpašība: jebkuram naturālam skaitlim \(C\), kuram \(B < C < 100\) ir spēkā \(B \leq V \leq C\), kur \(V=\frac{1+B+C+100}{4}\) ir skaitļu \(1, B, C, 100\) vidējais aritmētiskais.
Vai kubu ar izmēriem \(12 \times 12 \times 12\) iespējams salikt no ķieģeļiem, kuru izmēri ir \(1 \times 1 \times 8\) ?
Aplūkojam skaitļu virkni \(7 ; 737 ; 73737 ; 7373737 ; \ldots\), kuras pirmais loceklis ir \(7\) un katru nākamo iegūst, iepriekšējam pierakstot galā \(37\). Pierādīt, ka neviens šīs virknes loceklis nedalās ar \(17\).