Turnīrā piedalās \(n\) šahisti \((n \geq 2)\), katrs ar katru citu spēlē vienu reizi. Par uzvaru spēlētājs iegūst 1 punktu, par neizšķirtu \(\frac{1}{2}\) punkta, par zaudējumu 0 punktus. Pēc turnīra beigām katrs spēlētājs aprēkināja divus skaitļus: \(Z\) - visu to spēlētāju punktu summu, kam viṇš zaudējis, un \(U\) - visu to spēlētāju punktu summu, kurus viṇš uzvarējis. Vai var gadīties, ka katram spēlētājam pastāv nevienādība \(Z>U\) ?

(A) Vai var atrast tādus trīs dažādus naturālus skaitļus \(a,b,c\), ka \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\)?

(B) Vai var atrast tādus desmit dažādus naturālus skaitļus \(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{10}\), ka \(\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\cdots+\frac{1}{a_{10}}=1\)?

Punkti \(A,B,C\) atrodas uz vienas taisnes; \(B\) atrodas starp \(A\) un \(C\). Trijstūri \(AMB\) un \(BNC\) ir vienādmalu, pie tam \(M\) un \(N\) atrodas vienā pusē no taisnes \(AC\). Pierādīt, ka leņķis starp taisnēm \(AN\) un \(CM\) ir \(60^{\circ}\).

Aprēķināt izteiksmes vērtību!

\[ \left(1+\frac{1}{2}\right) \cdot\left(1+\frac{1}{3}\right) \cdot\left(1+\frac{1}{4}\right) \cdot \ldots \cdot\left(1+\frac{1}{70}\right) \]

Punkti \(A, B\) un \(C\) atrodas uz vienas taisnes; \(B\) atrodas starp \(A\) un \(C\). Trijstūri \(AMB\) un \(BNC\) ir vienādmalu. Pierādīt, ka \(AN=CM\).

Volejbola turnīrā katra komanda ar katru citu spēlēja tieši vienu reizi. Volejbolā neizškirtu nav. Turnīru beigās izrādījās, ka astotdaļai visu komandu nav nevienas uzvaras. Cik spēlu izspēlēja turnīrā?

Pierādīt, ka katram naturālam \(n\) ir patiesa vienādība

\[1^{2}+3^{2}+5^{2}+\cdots+(2 n-1)^{2}=\frac{n(2 n-1)(2 n+1)}{3}\]

Uz riṇka līnijas diametra \(A B\) atlikts punkts \(C\), bet \(X\) un \(Y\) ir punkti uz rinka līnijas, kas nesakrīt ne ar \(A\), ne ar \(B\). Pierādīt, ka \(\frac{\operatorname{tg} \sphericalangle AXC}{\operatorname{tg} \sphericalangle XAC}=\frac{\operatorname{tg} \sphericalangle AYC}{\operatorname{tg} \sphericalangle YAC}\).

Vai plaknē var atlikt četrus punktus tā, lai trīs attālumi starp punktiem būtu \(5 \mathrm{~cm}, 6 \mathrm{~cm}\) un \(10 \mathrm{~cm}\), bet katrs atlikušais attālums nepārsniegtu \(4 \mathrm{~cm}\) ?

Virkne uzdota rekurenti ar formulu \(x_{n+2}=3 x_{n+1}-2 x_{n}-1\), kur \(x_{1}=3\) un \(x_{2}=6\). Pierādīt, ka virkni var definēt ar formulu \(x_{n}=2^{n}+n\).

Vai eksistē tādi trīs dažādi naturāli skaitli, ka katru divu skaitļu reizinājums dalās ar to summu?

(A) Vai uz rūtinu lapas var uzzīmēt \(12\)-stūri, kura laukums ir \(20\) rūtiṇas un kura malas iet pa rūtinu līnijām?

(B) Vai uz rūtiṇu lapas var uzzīmēt \(12\)-stūri, kura laukums ir \(4500\) rūtiņas un kura malas iet pa rūtiṇu līnijām?

(A) Vai kvadrātu var sagriezt \(11\) kvadrātos?

(B) Vai kvadrātu var sagriezt \(113\) kvadrātos?

Uz leṇḳa \(MON\) malām \(OM\) un \(ON\) atlikti attiecīgi nogriežṇi \(OA=AB=BC\) un \(OD=DE=EF\). Pierādīt, ka trijstūru \(AEC\) un \(DBF\) laukumi ir vienādi!

(A) Vai kvadrātu var sagriezt 10 kvadrātos?

(B) Vai kvadrātu var sagriezt 103 kvadrātos?

Dotas 25 pēc ārējā izskata vienādas monētas. Zināms, ka 24 monētu masas ir vienādas savā starpā, bet vienas monētas masa ir citāda. Kā ar divām svēršanām uz sviru svariem bez atsvariem noskaidrot, vai atšķirīgā monēta ir vieglāka vai smagāka nekā pārējās?

Katrā no mazajiem trijstūrīšiem (skat. 3.att.) ierakstīts viencipara naturāls skaitlis; dažādos trijstūrīšos ierakstīti dažādi skaitļi. Aplūkojam visas tādas divu skaitļu summas, kuri ierakstīti trijstūrīšos ar kopīgu malu.

(A) Vai var gadīties, ka neviena no šīm summām nepārsniedz \(10\)?

(B) Kāds mazākais skaits no šīm summām var būt pāra skaitļi?

1. att.

Vai eksistē tādi dažādi trīsciparu naturāli skaitli \(A\) un \(B\), ka trim skaitļiem \(A, B\) un \(A+B\) ciparu summas visas savā starpā vienādas?

Pierādīt, ka \(10^{n}-9n-1\) dalās ar \(81\) visām naturālām \(n\) vērtībām!

Vai šaurleṇku trijstūrī mediānas garums var būt vienāds ar viduslīnijas garumu?

Dots, ka \(a\) un \(b\) ir naturāli skaitli, \(a>b\). Zināms, ka \(a\) dalās ar \(b\) un \(a+1\) dalās ar \(b+1\). Pierādīt, ka \(a>b^{2}\).

Kādu lielāko skaitu skaitļu var uzrakstīt rindā tā, lai katru trīs pēc kārtas uzrakstītu skaitļu summa būtu pozitīva, bet katru piecu pēc kārtas uzrakstītu skaitļu summa būtu negatīva?

Uz šaha galdina novietotas dažas figūras, katrā lauciṇā ne vairāk kā viena. Gan katrā rindā, gan katrā kolonnā atrodas nepāra skaits figūru. Pierādīt, ka uz melnajiem lauciṇiem kopā ir pāra skaits figūru!

Atrast tādu divpadsmitciparu skaitli (kas nesatur ciparu \(0\)) tā, lai katri divi blakus uzrakstīti cipari veidotu pirmskaitli un visi šie pirmskaitļi būtu dažādi!