Dīvainam kalkulatoram ir tikai divas pogas: "P", kas uz ekrāna redzamo skaitli palielina par pieci, un "S", kas uz ekrāna redzamo skaitli palielina par septiņi. leslēdzot kalkulatoru, uz ekrāna redzams skaitlis \(0\). Kāds ir lielākais naturālais skaitlis, kuru nevar iegūt uz kalkulatora ekrāna?

Virkne \(\left(x_{n}\right)\) definēta rekurenti: \(x_{1}=1,\ x_{2}=-3,\ x_{3}=-29\) un \(x_{n+3}=9x_{n+2}-26x_{n+1}+24x_{n}\) visiem naturāliem \(n\). Pierādīt, ka \(x_{n}=2^{n}+3^{n}-4^{n}\) visiem naturāliem \(n\).

Profesoram Cipariņam ir airu laiva. Profesors stāvošā ūdenī airē ar ātrumu \(7~\mathrm{km/h}\). Vienu dienu viņš nolēma doties braucienā pa vietējo upi. Izbraucot no mājām, profesors brauca \(8\) stundas pret straumi, līdz nokļuva kādā atpūtas vietā. Vēlāk, kad bija atpūties, profesors devās atpakaļ mājās. Pēc \(4\) stundu airēšanas viņu izbiedēja skaļš putna kliedziens un viņš no rokām izlaida airus, kas iekrita ūdenī. Atlikušo ceļa gabalu laivu nesa straume. Aprēķini straumes ātrumu, ja zināms, ka profesors Cipariņš ceļā uz atpūtas vietu pavadīja par \(2\) stundām vairāk nekā atpakaļceļā!

Atrodi tādu naturālu skaitli \(n\), ka skaitļa \(11n\) ciparu summa ir vismaz \(11\) reizes mazāka nekā skaitļa \(n\) ciparu summa!

Sešciparu naturāliem skaitļiem katrs cipars aizstāts ar burtu tā, ka vienādi burti aizstāj vienādus ciparus, bet dažādi burti - dažāus ciparus. Zināms, ka trīs skaitļi, kam pēc aizstāšanas atbilst vārdi \(AGNESE,\ ASTERE\) un \(SNIEGS\), visi dalās ar \(8\). Vai iespējams, ka skaitlis, kam atbilst vārds \(GRIEZE\), dalās ar \(8\)?

Dota tabula ar izmēriem \(3 \times 2n\) rūtiņas, kurā katrā rūtiņā ierakstīts viens naturāls skaitlis no \(1\) līdz \(6n\) (katrā rūtiņā cits skaitlis) tā, ka rūtiņās, kurām ir kopīga mala, ierakstīto skaitļu starpība ir vismaz \(K\) (kur \(K\) ir naturāls skaitlis). Kādai lielākajai \(K\) vērtībai tas ir iespējams (izsaki atbildi atkarībā no \(n\) vērtības)?

Divas riņķa līnijas \(\omega_{1}\) un \(\omega_{2}\) ārēji pieskaras. Taisne \(t\) pieskaras \(\omega_{1}\) punktā \(A\), bet \(\omega_{2}\) - punktā \(B\). Ir novilkts \(\omega_{1}\) diametrs \(AC\) un no punkta \(C\) - pieskare \(CD\) pret \(\omega_{2}\) (\(D\) - pieskaršanās punkts). Pierādīt, ka \(AC=CD\)!

Dota tabula ar izmēriem \(2 \times 12\) rūtiņas. Katrā rūtiņā ierakstīts naturāls skaitlis no \(1\) līdz \(24\) (katrā rūtiņā cits skaitlis). Vai iespējams, ka rūtiņās, kurām ir kopīga mala, ierakstīto skaitļu starpība ir vismaz a) \(11\), b) \(12\)?

Izmantojot divas 11.att. un četrpadsmit 12.att. figūras, saliec taisnstūri ar izmēriem \(10 \times 9\) tā, lai 11.att. figūras nesaskartos! Figūras drīkst pagriezt.

Dots trijstūris \(ABC\), kurā \(\sphericalangle A<\sphericalangle C\). Uz malas \(BC\) pagarinājuma izvēlēts punkts \(D\) tā, ka \(B\) atrodas starp \(C\) un \(D\) un \(BD=AB\). Uz leņķa \(ABC\) bisektrises izvēlēts punkts \(E\) tā, ka \(\sphericalangle BAE=\sphericalangle ACB\). Nogriežņi \(BE\) un \(AC\) krustojas punktā \(F\). Taisne, kas novilkta caur punktu \(E\) paralēli \(CD\), krusto nogriežņi \(AD\) punktā \(G\). Pierādīt, ka \(AG=BF\).

Uz katras no \(2N\) kartītēm uzrakstīts viens naturāls skaitlis no \(1\) līdz \(N\), katrs skaitlis uzrakstīts uz tieši divām kartītēm. Kartītes jāsaliek rindā vienu aiz otras tā, lai starp kartītēm, uz kurām uzrakstīts skaitlis \(k\), atrastos tieši \(k\) citas kartītes. Vai kartītes var salikt prasītajā veidā, ja a) \(N=6\), b) \(N=7\)?

Vai 15.att. figūru var pārklāt ar a) piecpadsmit 16.att. figūrām, b) trīs 16.att. figūrām un divpadsmit 17.att. figūrām? Figūras drīkst pagriezt.

Divas riņķa līnijas \(\omega_{1}\) un \(\omega_{2}\) iekšēji pieskaras punktā \(A\) (\(\omega_{2}\) atrodas \(\omega_{1}\) iekšpusē) un \(\omega_{1}\) centrs neatrodas \(\omega_{2}\) iekšpusē. Riņķa līnijas \(\omega_{1}\) diametrs \(AB\) šķērso \(\omega_{2}\) punktā \(C\). Pieskares \(BF\), kas no \(B\) vilkta pret \(\omega_{2}\), un \(\omega_{1}\) hordas \(DE\), kas iet caur \(C\) perpendikulāri \(AB\), garumi sakrīt. Aprēķināt \(\omega_{1}\) un \(\omega_{2}\) diametru garumu attiecību \(\frac{AB}{AC}\).

Dota \(N \times N\) rūtiņu tabula, kurā visas diagonāles ir sanumurētas pēc kārtas ar skaitļiem no \(1\) līdz \(2N-1\). Visās rūtiņās, kas pieder vienai diagonālei, ierakstīts šīs diagonāles numurs (piemēram, 26.att. parādīts tabulas aizpildījums, ja \(N=5\)). Pierādīt, ka visām naturālām \(N\) vērtībām visu tabulā ierakstīto skaitļu summa ir kāda naturāla skaitļa kubs!

Uz tāfeles rindā uzrakstīti nepāra skaitļi \(1;\ 3;\ 5;\ \ldots ;\ 2021;\ 2023\). Katram no tiem priekšā pierakstīja vai nu "+", vai "-" zīmi. Vai var gadīties, ka iegūtās izteiksmes vērtība ir a) \(4\); b) \(1\)?

Bezgalīgas augošas aritmētiskās progresijas locekļi ir naturāli skaitļi. Pierādīt, ka tajā ir tāds loceklis, kurā desmit cipari pēc kārtas ir piecinieki.

Zināms, ka naturāli skaitļi \(x\) un \(y\) ir tādi, ka \(x^{2}+y^{2}+1\) dalās ar \(13\). Pierādīt: a) \(x^{2}-y^{2}\) nedalās ar \(13\), b) tieši viens no skaitļiem \(x^{4}, y^{4}, x^{4}+y^{4}+1\) dalās ar \(13\).

Pierādit, ka \(\frac{1}{1 \cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 5}+\frac{1}{5 \cdot 7}+\ldots+\frac{1}{2019 \cdot 2021}=\frac{1010}{2021}\).

Uz katras no \(2N\) kartītēm uzrakstīts viens naturāls skaitlis no \(1\) līdz \(N\), katrs skaitlis uzrakstīts uz tieši divām kartītēm. Kartītes jāsaliek rindā vienu aiz otras tā, lai starp kartītēm, uz kurām uzrakstīts skaitlis \(k\), atrastos tieši \(k\) citas kartītes. Vai kartītes var salikt prasītajā veidā, ja a) \(N=4\), b) \(N=5\)?

Dota tabula ar izmēriem \(2 \times n\) rūtiņas, kurā katrā rūtiņā ierakstīts viens naturāls skaitlis no \(1\) līdz \(2n\) (katrā rūtiņā cits skaitlis) tā, ka rūtiņās, kurām ir kopīga mala, ierakstīto skaitļu starpība ir vismaz \(K\), (kur \(K\) ir naturāls skaitlis). Kādai lielākajai \(K\) vērtībai tas ir iespējams (izsaki atbildi atkarībā no \(n\) vērtības)?

Atrisināt veselos skaitļos vienādojumu \(n^{3}=(n-1)^{3}+(n-2)^{3}+(n-3)^{3}\).

Pa apli uzrakstīti \(10\) naturāli skaitļi, kuru summa ir \(100\). Zināms, ka jebkuru trīs pēc kārtas esošu skaitļu summa ir vismaz \(29\). Kādu lielāko vērtību var pieņemt lielākais no šiem desmit skaitļiem?

Doti trīs kvadrāti ar laukumiem attiecīgi \(1~\mathrm{m^{2}}, 4~\mathrm{m^{2}}\) un \(9~\mathrm{m^{2}}\). Kvadrāti salikti viens virs otra tā, kā parādīts 9.att. Aprēķini iegūtās figūras perimetru!

Atrodi skaitļa \(1^{3}+3^{3}+5^{3}+\cdots+101^{3}\) pēdējo ciparu!

a) Parādi vienu veidu, kā 34.att. figūras katrā rūtiņā ierakstīt veselu skaitli tā, lai jebkurā taisnstūrī \(1 \times 3\) vai \(3 \times 1\) ierakstīto skaitļu summa būtu \(2020\) un arī visu trīspadsmit ierakstīto skaitļu summa būtu \(2020\). b) Parādi, kā prasīto izdarīt, lai figūrā būtu ierakstīti pēc iespējas vairāk dažādi skaitļi!

Dota tabula ar izmēriem \(3 \times 10\) rūtiņas. Katrā rūtiņā ierakstīts naturāls skaitlis no \(1\) līdz \(30\) (katrā rūtiņā cits skaitlis). Vai iespējams, ka rūtiņās, kurām ir kopīga mala, ierakstīto skaitļu starpība ir vismaz a) \(14\), b) \(15\)?

Debesskrāpī, kurā strādā profesors Cipariņš, ir \(500\) stāvi un tā liftā ir neparasta vadības pults: tajā var ievadīt naturālu skaitli \(n\), kas nepārsniedz \(100\), nospiest pogu vai un lifts brauks \(n\) stāvus attiecīgi uz augšu vai uz leju. Tā, piemēram, parasti profesors Cipariņš, lai aizbrauktu no \(1.\) stāva uz savu kabinetu \(314.\) stāvā, brauc uz augšu trīs reizes pa \(100\) stāviem, un tad vienu reizi \(13\) stāvus uz augšu.

Diemžēl šorīt izrādijās, ka lifts ir salūzis, un reizēm tas brauc nepareizā virzienā, tas ir, var gadīties, ka tā vietā, lai brauktu \(n\) stāvus uz augšu, tas aizbrauc \(n\) stāvus uz leju (un otrādi). Parādiet, kā ar salūzušo liftu profesors Cipariņs var noklūt no \(1.\) stāva uz savu kabinetu \(314.\) stāvā, ja zināms, ka lifts nekad neaizbrauc nepareizi \(7\) reizes pēc kārtas, tas ir, ja tas ir sešas reizes pēc kārtas kļūdīijes, tad septītajā tas noteikti aizbrauks pareizajā virzienā.

Piezīme. Lifts nebrauc zemāk par \(1.\) un augstāk par \(500.\) stāvu. Ja, piemēram, tam jābrauc no \(3.\) stāva \(5\) stāvus uz leju, tas aizbrauc līdz \(1.\) stāvam un tur apstājas.

Sagriez 5.att. doto figūru divpadsmit 6.att. figūrās!

Dota \(N \times N\) rūtiņu tabula, kurā visas diagonāles ir sanumurētas pēc kārtas ar skaitļiem no \(1\) līdz \(2N-1\). Katram \(i\), kur \(1 \leq i \leq 2N-1\) visās rūtiņās, kas pieder diagonālei ar numuru \(i\), ierakstīts \(i\)-tais nepāra skaitlis pēc kārtas (piemēram, 30.att. parādīts tabulas aizpildījums, ja \(N=5\)). Pierādīt, ka ir bezgalīgi daudz tādu naturālu \(N\) vērtību, ka visu tabulā ierakstīto skaitļu summa ir kāda naturāla skaitļa kvadrāts!

Pierādīt, ka visām naturālām \(n\) vērtībām \(6^{2n}+19^{n}-2^{n+1}\) dalās ar \(17\).

Vai eksistē tāds dažādmalu trijstūris, kura malu garumi ir naturāli skaitļi, kas veido ģeometrisko progresiju?

Dota taisne \(y=2019x-2020\). Uzraksti vienādojumu taisnei, kas iet caur punktu \((14; -2006)\) un krusto doto taisni punktā, kura abscisa ir \(0\).

Divas riņķa līnijas \(\omega_{1}\) un \(\omega_{2}\) iekšēji pieskaras punktā \(A\) (\(\omega_{2}\) atrodas \(\omega_{1}\) iekšpusē) un \(\omega_{1}\) centrs neatrodas \(\omega_{2}\) iekšpusē. Riņķa līnijas \(\omega_{1}\) diametrs \(AB\) šķērso \(\omega_{2}\) punktā \(C\). Zināms, ka \(\omega_{1}\) hordas \(DE\), kas iet caur \(C\) perpendikulāri \(AB\), garums sakrīt ar \(BC\) garumu. Aprēķināt \(\omega_{1}\) un \(\omega_{2}\) diametru garumu attiecību \(\frac{AB}{AC}\).

Doti četri trīsciparu skaitļi \(\overline{xzy};\ \overline{yaz};\ \overline{yax};\ \overline{zxa}\) un zināms, ka \(a, x, y, z\) ir dažādi cipari. Vai var būt, ka \(\overline{xzy}<\overline{yaz}<\overline{yax}<\overline{zxa}\)?

Atrodi tādu trīsciparu skaitli, kam vienlaicīgi izpildās tālāk dotie nosacīumi! Šis skaitlis,

• dalot ar \(2\), atlikumā dod \(1\),
• dalot ar \(3\), atlikumā dod \(2\),
• dalot ar \(4\), atlikumā dod \(3\),
• dalot ar \(5\), atlikumā dod \(4\),
• dalot ar \(6\), atlikumā dod \(5\),
• dalot ar \(7\), atlikumā dod \(6\),
• dalot ar \(8\), atlikumā dod \(7\).

Valentīns savā burtnīcā zīmē figūras, pirmās trīs no tām parādītas 1.att. Pirmā figūra sastāv no pieciem vienādiem kvadrātiem un tās perimetrs ir \(12~\mathrm{cm}\). Katru nākamo figūru Valentīns iegūst, iepriekšējai figūrai labajā pusē piezīmējot klāt vienu 2.att. doto figūru.

a) No cik kvadrātiem sastāv \(70.\) figūra?

b) Nosaki \(70.\) figūras perimetru!

c) Vai kādai no Valentīna zīmētajām figūrām perimetrs ir \(1000~\mathrm{cm}\)?

Dotas \(8\) pēc ārējā izskata vienādas monētas. Ir zināms, ka vai nu visām tām masas ir vienādas, vai arī \(4\) monētām ir viena masa, bet \(4\) monētām - cita masa. Kā ar \(2\) svēršanām uz sviras svariem bez atsvariem var noskaidrot, kura no iespējām pastāv īstenībā?

Pierādīt, ka katram naturālam \(n\) izpildās vienādība

\[\frac{1^{2}}{1 \cdot 3}+\frac{2^{2}}{3 \cdot 5}+\cdots+\frac{n^{2}}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{n(n+1)}{2(2n+1)}\]

Trijstūrī \(ABC\) novilktas bisektrises \(AK\) un \(BM\). Zināms, ka \(AK=BM=AB\). Aprēķini trijstūra \(ABC\) leņķus!

Vienādsānu trijstūra pamata malas garums ir \(10~\mathrm{cm}\), bet perimetrs ir mazāks nekā \(30~\mathrm{cm}\). Kāds var būt trijstūra sānu malas garums?