Sākums > Olimpiādes > LV.VOL.2019
Sākotnēji katrā kvadrāta \(5 \times 5\) rūtiņā atradās tieši viena skudra. Tad katra skudra pārvietojās uz kādu blakus rūtiņu (tas ir, uz rūtiņu, kam ar esošo ir kopīga mala). Kāds tagad ir a) mazākais; b) lielākais iespējamais tukšo rūtiņu skaits?
Koordinātu plaknē doti a) \(8\); b) \(9\) punkti, katram no tiem koordinātas ir veseli skaitļi. Zināms, ka nekādi trīs punkti neatrodas uz vienas taisnes. Vai noteikti var atrast tādus trīs punktus, ka trijstūrim ar virsotnēm šajos punktos mediānu krustpunkta koordinātas arī ir veseli skaitļi?
Riņķa līnijā ar centru punktā \(O\) novilkta horda \(AB\), kas neiet caur \(O\). Caur punktu \(B\) novilkts perpendikuls pret \(AB\), kas riņķa līniju vēlreiz krusto punktā \(D\). Uz loka \(AB\), kuram nepieder \(D\), atzīmēts šī loka viduspunkts \(C\). Taisnes \(AC\) un \(DB\) krustojas punktā \(E\). Pierādīt, ka \(OE^{2}=OB^{2}+2 \cdot OB \cdot BE\).
Izliekta četrstūra \(ABCD\) diagonāle \(AC\) ir leņķa \(A\) bisektrise, \(AC=AD\) un \(\sphericalangle B=90^{\circ}\). Trijstūrī \(ADC\) novilkts augstums \(DH\). Pierādīt, ka taisne \(BH\) sadala nogriezni \(CD\) uz pusēm!
Atrast
(A) vienu tādu naturālu skaitļu pāri \((a; b)\),
(B) trīs tādus naturālu skaitļu pārus \((a; b), a < b\),
ka lielākais skaitlis, ko nevar izteikt formā \(an+bm\), kur \(m\) un \(n\) ir nenegatīvi veseli skaitļi, ir \(2019\).
Naturālu skaitļu virknes pirmie divi locekļi ir \(a_{1}\) un \(a_{2}\), turklāt \(a_{2}>a_{1}\). Katru nākamo virknes locekli, sākot ar trešo, aprēķina pēc formulas \(a_{i}=a_{i-1}+a_{i-2}\). Kādai lielākajai indeksa \(i\) vērtībai \(a_{i}\) var būt vienāds ar \(100a_{1}\)?
Pierādīt, ka visus naturālos skaitļus, kas lielāki nekā \(100\), var izteikt kā pirmskaitļa un salikta skaitļa summu!
Komisijā ir \(7\) cilvēki. lerodoties uz sēdi, daži no viņiem sarokojas. Kāds ir mazākais iespējamais sarokošanos skaits, lai no katriem trim komisijas locekļiem varētu atrast divus, kas savā starpā sarokojušies?
Reālus skaitļus \(a\) un \(b\) saista sakarība \(\frac{4a^{2}-7b^{2}}{ab}=12\). Kāda var būt \(\frac{4a^{2}+7b^{2}}{ab}\) vērtība?
Vai naturāla skaitļa kvadrāta ciparu summa var būt (A) \(19\), (B) \(2019\)?
Pierādīt, ka nevienai naturālai \(n\) vērtībai izteiksmes
\[4^{n}+5^{n}+6^{n}+7^{n}+8^{n}+9^{n}+10^{n}+11^{n}+12^{n}+13^{n}\]
vērtība nav naturāla skaitļa kvadrāts!
Kādā valstī ir \(100\) pilsētas. Starp dažām no tām organizēti avioreisi. Starp katrām divām pilsētām ir augstākais viens reiss. Katrs reiss savieno tikai \(2\) pilsētas, pa ceļam nenolaižoties citās. Katrs reiss "darbojas" abos virzienos. Reisus organizē \(90\) aviokompānijas, katra aviokompānija organizē tieši \(30\) reisus. Ja kompānija organizē reisu starp kādām divām pilsētām (apzīmēsim tās ar \(A\) un \(B\)), tad tai ir biroji gan pilsētā \(A\), gan pilsētā \(B\). Pierādīt, ka ir tāda pilsēta, kurā ir vismaz \(9\) biroji!
Ap četrstūri \(ABCD\) apvilkta riņķa līnija. Taisne, kas ir paralēla \(BC\) un iet caur \(D\), krusto nogriezni \(AC\) punktā \(M\). Taisne, kas ir paralēla \(AB\) un iet caur punktu \(D\), krusto nogriezni \(AC\) punktā \(N\). Pierādīt, ka riņķa līnijas, kas apvilktas ap trijstūriem \(AMD\) un \(DNC\), pieskaras viena otrai!
Vienādojumam \(x^{3}-px+2019=0\), kur \(p\) - naturāls skaitlis, ir trīs reālas saknes \(x_{1}, x_{2}, x_{3}\). Kāda var būt izteiksmes \(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}\) vērtība?
Doti seši dažādi iracionāli skaitļi. Pierādīt, ka no tiem var izvēlēties \(3\) skaitļus (apzīmēsim tos ar \(x, y, z\)) tā, ka visi trīs skaitļi \(x+y, x+z, y+z\) ir iracionāli!
Uz trijstūra \(ABC\) malām \(AC\) un \(BC\) attiecīgi atlikti punkti \(M\) un \(N\). Nogriežņi \(AN\) un \(BM\) krustojas punktā \(P\). Aprēķināt trijstūra \(ABC\) laukumu, ja \(S(AMP)=S(BNP)=8\) un \(S(NMP)=4\).
Hokeja turnīrā piedalijās \(16\) komandas. Katra komanda ar katru citu spēlēja tieši vienu reizi; neizšķirtu nav. Apzīmēsim katras komandas uzvaru un zaudējumu skaitu attiecīgi ar \(x_{i}\) un \(y_{i}, i=1; 2; \ldots ; 16\). Pierādīt, ka \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots+x_{16}^{2}=y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\ldots+y_{16}^{2}\)
Pierādīt, ka nevienai naturālai \(n\) vērtībai izteiksmes \(13^{n}+7^{n}+2019\) vērtība nav naturāla skaitļa kvadrāts!
Pierādīt, ka nevienai naturālai \(n\) vērtībai izteiksmes \(13^{n}+10^{n}+7^{n}+3^{n}\) vērtība nav naturāla skaitļa kvadrāts!