Uz tāfeles uzrakstītas deviņas zvaigznītes \(*********\). Mārtiņš ieraksta kādas zvaigznītes vietā jebkuru ciparu no \(1\) līdz \(9\). Pēc tam Rihards jebkuru divu citu zvaigznīšu vietā ieraksta divus nenulles ciparus (tie var arī atkārtoties). Pēc tam vēl divas reizes viņi atkārto šo darbību. Rihards uzvar, ja iegūtais deviņciparu skaitlis dalās ar \(31\). Vai Rihards vienmēr var uzvarēt?

Vai var gadīties, ka 30.att. ir doti funkciju \(y=ax^{2}+bx+c,\ y=cx^{2}+bx+a\) un \(y=bx+c\) grafiki? (Funkciju grafiki nav zīmēti mērogā.)

Anniņa kvadrātā \(6 \times 6\) iekrāsoja dažas pelēkas rūtiņas tā, ka neveidojas neviens stūrītis (skat. 15.att.), kam visas rūtiņas ir pelēkas. Ja Anniņa iekrāsos vēl jebkuru vienu rūtiņu, tad noteikti veidosies stūrītis, kam visas rūtiņas ir pelēkas. Jānītis, ievērojot tos pašus nosacījumus, iekrāsoja rūtiņas citā kvadrātā \(6 \times 6\). Vai var gadīties, ka Anniņa iekrāsoja mazāk rūtiņu nekā Jānītis? Figūra stūrītis var būt arī pagriezta.

Izliekta piecstūra \(ABCDE\) diagonāļu \(AC\) un \(BD\) krustpunkts ir \(M,\ AC\) un \(BE\) krustpunkts ir \(K\). Zināms, ka \(AK=CM\) un \(BK=KE=AE\). Pierādīt, ka \(EM=BC\).

Pierādīt, ka nevienādība \(\frac{a}{b}(a+1)^{2}+\frac{b}{a}(b+1)^{2} \geq 2(a+1)(b+1)\) ir spēkā visiem reāliem pozitīviem skaitļiem \(a\) un \(b\).

Izmantojot divus atšķirīgus nenulles ciparus \(x\) un \(y\) ir izveidoti divi trīsciparu skaitļi \(\overline{xyx}\) un \(\overline{yxy}\). Zināms, ka \(\overline{xyx}\) dalās ar \(3\), bet \(\overline{yxy}\) dalās ar \(4\). Kāds var būt izveidotais trīsciparu skaitlis \(\overline{yxy}\) ?

Konkursā bija \(90\) jautājumu. Par katru pareizu atbildi var iegūt \(3\) punktus, par katru nepareizu atbildi tiek atņemts \(1\) punkts. Ja uz kādu jautājumu nav sniegta atbilde, tad par šo jautājumu ir \(0\) punktu. Olafs konkursā ieguva \(200\) punktus un zināms, ka viņš uz \(10\) jautājumiem atbildēja nepareizi. Uz cik jautājumiem Olafs nesniedza atbildi?

Zināms, ka no \(26\) monētām viena ir viltota - tā ir vieglāka nekā pārējās, kurām visām ir vienāda masa. Kā ar trīs svēršanām uz sviras svariem bez atsvariem atrast viltoto monētu?

Taisnstūra vienas malas garums ir \((2 \sqrt{3}-\sqrt{6})(2 \sqrt{3}+\sqrt{6})\), bet otras malas garums ir \((\sqrt{3})^{2}+\sqrt{1 \frac{7}{9}}\). Aprēķināt malas garumu kvadrātam, kura laukums ir tikpat liels kā dotajam taisnstūrim (atbildi vienkāršot)!

Atrast visus pirmskaitļu pārus \((m, n)\), kuriem \(20m+19n=2019\).

Dotas \(6\) pēc ārējā izskata vienādas monētas. Trim no tām masa katrai ir \(50~\mathrm{g}\), bet pārējām trim - katrai \(51~\mathrm{g}\). Kā, lietojot sviras svarus bez atsvariem, ar divām svēršanām atrast vienu monētu, kuras masa ir \(51~\mathrm{g}\)?

Pierādīt, ka vienādojumam \((a-b)^{2}=a+b\) ir bezgalīgi daudz atrisinājumu naturālos skaitļos!

Aizpildi doto kvadrātu (skat. 11.att.), tukšajās rūtiņās ierakstot pa vienam naturālam skaitlim, tā, lai visi deviņi skaitļi ir dažādi un visās rindās, visās kolonnās un abās diagonālēs skaitļu summas būtu vienādas! (Pietiek parādīt vienu veidu, kā to izdarīt.)

Pierādīt, ka pozitīviem skaitļiem \(a,\ b,\ c\) izpildās nevienādība \(\left|\sqrt{a^{2}+b^{2}}-\sqrt{a^{2}+c^{2}}\right| \leq|b-c|\).

Lineāra funkcija \(y=\left(m^{2}-3 m\right) x+4m-4\) krusto \(x\) asi punktā, kura abscisa ir \(2\). Atrodi \(m\) vērtības un noskaidro, vai atbilstošā funkcija ir augoša vai dilstoša!

Doti \(2019\) reāli skaitļi ar īpašību, ka jebkuru \(1010\) skaitļu summa ir lielāka nekā atlikušo \(1009\) skaitļu summa. Pierādīt, ka visi dotie skaitļi ir pozitīvi!

Anniņa kvadrātā \(4 \times 4\) iekrāsoja dažas pelēkas rūtiņas tā, ka neveidojas neviens stūrītis (skat. 3.att.), kam visas rūtiņas ir pelēkas. Ja Anniņa iekrāsos vēl jebkuru vienu rūtiņu, tad noteikti veidosies stūrītis, kam visas rūtiņas ir pelēkas. Jānītis, ievērojot tos pašus nosacījumus, iekrāsoja rūtiņas citā kvadrātā \(4 \times 4\). Vai var gadīties, ka Anniņa iekrāsoja mazāk rūtiņu nekā Jānītis? Figūra \(stūrītis\) var būt arī pagriezta.

Vai vārdā \(NEAPJAUŠAMAIS\) var aizvietot burtus ar cipariem tā, ka dažādus burtus aizstāj dažādi cipari (burti \(S\) un \(Š\) ir aizstāti ar atšķirīgiem cipariem), bet vienādus - vienādi, turklāt izveidotais skaitlis ir pirmskaitlis?

Sākumā katrā no divām tvertnēm bija \(250\) litri degvielas. No pirmās tvertnes vispirms izlēja \(\frac{1}{5}\) degvielas un tad pielēja \(\frac{1}{5}\) no tvertnē atlikušās degvielas. Otrajā tvertnē vispirms pielēja klāt \(\frac{1}{5}\) no tvertnē esošā degvielas daudzuma un tad izlēja \(\frac{1}{5}\) no tvertnē esošās degvielas. Cik litru degvielas tagad ir katrā tvertnē?

Uz tāfeles uzrakstīti skaitļi \(\frac{3}{2},\ \frac{4}{5},\ \frac{5}{3}\). Ar vienu gājienu atļauts izvēlēties divus no uzrakstītajiem skaitļiem (apzīmēsim tos ar \(a\) un \(b\)), nodzēst tos un to vietā uzrakstīt uz tāfeles skaitļus \(\frac{b^{2}}{a}\) un \(\frac{a^{2}}{b}\). Vai, izdarot vairākus šādus gājienus, var panākt, lai uz tāfeles vienlaicīgi būtu uzrakstīti skaitļi \(\frac{4}{3},\ \frac{4}{5},\ \frac{5}{2}\)?

Brigita ir iedomājusies naturālu skaitli, kas nepārsniedz \(60\). Indra drīkst Brigitai uzdot jautājumus, uz kuriem atbilde ir "jā" vai "nē". Kā, uzdodot sešus jautājumus, Indra noteikti var uzzināt Brigitas iedomāto skaitli?

Šaha klubā ir \(13\) šahisti. Visu viņu spēles prasme ir atšķirīga un partijā vienmēr uzvar spēcīgākais. a) Kā, izspēlējot \(12\) partijas, noskaidrot pašu labāko šahistu šajā klubā? b) Kā, izspēlējot \(15\) partijas, noskaidrot gan pašu labāko, gan otru labāko šahistu šajā klubā?

Atrast visus pirmskaitļu pārus \((m, n)\), kuriem \(20m+18n=2018\).

Veikalā par \(28\) uzlīmēm var saņemt mašīnu. Valentīns ieradās veikalā, kur pārdevējs viņam iedeva tikpat uzlīmes, cik Valentīnam jau bija, un tad viņš \(28\) uzlīmes samainīja pret mašīnu. Nākamajā dienā Valentīns atkal ieradās veikalā, kur pārdevējs viņam iedeva tikpat uzlīmes, cik Valentīnam jau bija, un \(28\) viņš samainīja pret mašīnu. Tas pats notika vēl \(2\) reizes. Pēc ceturtās reizes, kad Valentīns bija veicis apmaiņu, viņam vēl palika \(12\) uzlīmes. Cik uzlīmes bija Valentīnam pirms pirmā veikala apmeklējuma? (Ārpus šī veikala Valentīns uzlīmes nesaņem un netērē.)

Urnā atrodas \(66\) baltas un nezināms skaits melnu lodīšu. Ja uz labu laimi tiek izvilktas divas lodītes, tad varbūtība, ka abas lodītes būs vienā krāsā, sakrīt ar varbūtību, ka lodītes būs dažādās krāsās. Cik melno lodīšu atrodas urnā?

Dotas \(15\) pēc ārējā izskata vienādas monētas, bet visas to masas ir dažādas. Kā, izmantojot sviras svarus bez atsvariem, ar \(21\) svēršanu atrast gan pašu vieglāko, gan pašu smagāko monētu?

Vai var atrast tādus veselus skaitļus \(a\) un \(b\), ka \(ab(a+5b)=150015\) ?

Kvadrātfunkcija \(y=x^{2}+\left(m^{2}+3m\right)x+m-1\) krusto \(x\) asi punktā, kura abscisa ir \(1\). Kāda var būt \(m\) vērtība? Atrast otru parabolas krustpunktu ar \(x\) asi!

Dotas \(14\) pēc ārējā izskata vienādas monētas. Zināms, ka \(13\) monētu masas ir vienādas savā starpā, bet vienas monētas masa ir citāda. Kā ar divām svēršanām uz sviras svariem bez atsvariem noskaidrot, vai atšķirīgā monēta ir vieglāka vai smagāka nekā pārējās? (Pašu monētu atrast nav nepieciešams.)

Kāds mazākais ciparu skaits jāpieraksta ciparu virknes \(3456\) beigās, lai iegūtu skaitli, kas dalās ar \(2019\)?

Doti trīs vienādojumi \(ax+b=0,\ bx+c=0\) un \(cx+a=0\). Neviens no koeficientiem \(a, b, c\) nav \(0\).

a) Vai var gadīties, ka tieši diviem no šiem vienādojumiem saknes ir vienādas?

b) Vai noteikti vismaz vienam no šiem vienādojumiem ir negatīva sakne?

Plaknē dotas divas riņķa līnijas \(\omega_{1}\) un \(\omega_{2}\), kurām nav kopīgu punktu un kuru rādiusi nav vienāda garuma. Novilktas trīs pieskares \(t_{1}, t_{2}\) un \(t_{3}\), kas katra pieskaras abām riņķa līnijām - abas riņķa līnijas atrodas vienā un tajā pašā \(t_{1}\) pusē, vienā un tajā pašā \(t_{2}\) pusē, bet katra savā \(t_{3}\) pusē (skat. 28.att.). Taisne \(t_{1}\) pieskaras \(\omega_{1}\) punktā \(A\) un krusto \(t_{3}\) punktā \(C\), taisne \(t_{2}\) pieskaras \(\omega_{2}\) punktā \(B\) un krusto \(t_{3}\) punktā \(D\). Pierādīt, ka \(AC=BD\).

Dots, ka \(LAI + ŠIS + IR + LABS=2019\) un \(IR + IR = LAI\). Parādi vienu piemēru, kādi cipari var būt burtu vietās, lai dotās vienādības būtu patiesas un vienādus ciparus aizstātu vienādi burti, dažādus - dažādi (burti \(Š\) un \(S\) ir atšķirīgi).

Dotas divas melnas, divas sarkanas un divas zaļas lodītes. Vienas lodītes masa ir \(99~\mathrm{g}\), bet tādas pašas krāsas otras lodītes masa ir \(101~\mathrm{g}\). Pārējās četras lodītes katra sver \(100~\mathrm{g}\). Kā, lietojot sviras svarus bez atsvariem, ar divām svēršanām atrast vieglāko lodīti?

Trijstūrī \(ABC\) ievilktās riņķa līnijas centrs ir \(O\). Nogriežņi \(OA, OB, OC\) krusto šo riņķa līniju attiecīgi punktos \(D, E, F\). Zināms, ka \(\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}\). Pierādīt, ka trijstūris \(ABC\) ir regulārs!

Kvadrāts sastāv no \(n \times n\) rūtiņām. Rindas sanumurētas no lejas uz augšu ar skaitļiem \(1; 2; \ldots\); \(n\) tāpat sanumurētas kolonnas no kreisās uz labo pusi. Katrā rūtiņā ierakstīts vai nu \((+1)\), vai \((-1)\). Ja rindas un kolonnas numuri ir vienādi, tad visu šajā rindā ierakstīto skaitļu reizinājums atšķiras no visu šajā kolonnā ierakstīto skaitļu reizinājuma. Vai tas ir iespējams, ja a) \(n=7\), b) \(n=8\)?

Dotas \(11\) pēc ārējā izskata vienādas monētas, no kurām \(10\) ir īstas, bet viena ir viltota. Īstās monētas masa ir \(12\) grami, bet viltotās - \(11\) grami. Kā ar \(3\) svēršanām uz sviras svariem bez atsvariem atrast viltoto monētu?

Vai taisnstūri ar izmēriem (A) \(5 \times 8\), (B) \(5 \times 12\) rūtiņas var pārklāt ar 8.att. redzamajām figūrām? Taisnstūrim jābūt pilnībā pārklātam. Figūras nedrīkst iziet ārpus taisnstūra un nedrīkst pārklāties, tās drīkst būt pagrieztas vai apgrieztas spoguļattēlā.

Divas riņķa līnijas \(\omega_{1}\) (ar centru punktā \(O_{1}\)) un \(\omega_{2}\) (ar centru punktā \(O_{2}\)) krustojas punktā \(A\). Taisne \(O_{1} A\) krusto \(\omega_{2}\) punktā \(B_{2}\), bet \(\omega_{1}-\) punktā \(C_{1}\). Taisne \(O_{2}A\) krusto \(\omega_{1}\) punktā \(B_{1}\), bet \(\omega_{2}\) - punktā \(C_{2}\) (skat. 32.att.). Pierādīt, ka \(\sphericalangle B_{2}B_{1}A=\sphericalangle C_{2}C_{1}A\).

Uz kvadrāta \(ABCD\) malām \(AB,\ BC,\ CD\) un \(DA\) attiecīgi atzīmēti punkti \(E,\ F,\ G,\ H\) tā, ka \(AE=BF=CG=DH\). Kvadrāta iekšpusē atlikts patvaļīgs punkts \(O\). Pierādīt, ka \(S_{AEOH}+S_{FCGO}=S_{BFOE}+S_{DHOG}\).