Andris apgalvo, ka sapnī bijis kādā Éģiptes piramīdā un kādā tās telpā redzējis tādu piecstūri, kas salikts no diviem vienādiem piecstūriem, kuri sastāvējuši no vienādiem regulāriem trijstūriem. Uzzīmē šādu piecstūri!

Uz trijstūra \(ABC\) malām \(AB\) un \(BC\) izvēlēti attiecīgi tādi punkti \(D\) un \(E\), ka \(AC \parallel DE\). Nogriežņi \(AE\) un \(CD\) krustojas punktā \(F\). Punkti \(B, D, E\) un \(F\) atrodas uz vienas riņķa līnijas. Taisne \(BF\) krusto malu \(AC\) punktā \(H\) un trijstūrim \(ABC\) apvilkto riņķa līniju punktā \(G\). Pierādīt, ka \(FH=GH\).

Mežā dzīvo \(m\) rūķīši. Daži no tiem savā starpā draudzējas (ja \(A\) draudzējas ar \(B\), tad \(B\) draudzējas ar \(A\)), pie tam katra rūķīša draugu skaits ir kāda naturāla skaitļa kubs. Kādām \(m\) vērtībām tas ir iespējams?

Doti trīs kvadrāti. Zilā kvadrāta malas garums ir \(10~\mathrm{cm}\), sarkanā kvadrāta perimetrs ir par \(80 \%\) lielāks nekā zilā kvadrāta perimetrs, bet zaļā kvadrāta laukums ir \(4\) reizes mazāks nekā zilā kvadrāta laukums.

(A) Par cik sarkanā kvadrāta laukums ir lielāks nekā zilā kvadrāta laukums?

(B) Par cik procentiem zaļā kvadrāta perimetrs ir mazāks nekā zilā kvadrāta perimetrs?

Dots četrstūris \(ABCD\), kuram \(AB=AD\) un \(BC=CD\). Riņķa līnija, kas iet caur punktiem \(A, B\) un \(C\), krusto nogriežņus \(AD\) un \(CD\) attiecīgi to iekšējos punktos \(E\) un \(F\) un nogriezni \(BD\) punktā \(G\). Pierādīt, ka \(EG=FG\).

Parādi, kā no taisnstūra ar izmēriem \(6 \times 10\) rūtiņas var izgriezt (A) \(9\), (B) \(10\) figūras, kādas redzamas 9.att.! Figūras var būt pagrieztas vai apgāztas otrādi.

Dots paralelograms \(ABCD\). Leņķa \(BAD\) bisektrise krusto malu \(BC\) iekšējā punktā \(E\) un \(CD\) pagarinājumu punktā \(F\). Pierādīt, ka \(BC=DF\), ja zināms, ka \(DE\) ir perpendikulārs \(AF\).

Uz galda ir divas vāzes ar tulpēm - vienā vāzē ir \(46\) tulpes, bet otrā - \(43\) tulpes. Divi spēlētāji pamīšus ņem no tām ārā tulpes. Vienā gājienā viens spēlētājs izvēlas kādu no šīm vāzēm un no tās izņem vai nu \(1\) tulpi, vai arī \(3\) tulpes. Zaudē tas spēlētājs, kuram vairs nav ko paņemt. Kurš spēlētājs - pirmais vai otrais - vienmēr var uzvarēt?

Uzraksti daļas augošā secībā! Pamato!

\[\frac{16}{17}; \frac{441}{439}; \frac{11}{12}; \frac{391}{389}; \frac{21}{23}\]

Pierādīt, ka visām naturālām \(n\) vērtībām ir spēkā vienādība

\[6+24+60+\cdots+n(n+1)(n+2)=\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}\]

Vai eksistē tāds kvadrātvienādojums ar veseliem koeficientiem, kuram ir sakne

\[(\sqrt{2020}-2 \sqrt{2019}+\sqrt{2018})(\sqrt{2020}+\sqrt{2019})(\sqrt{2019}+\sqrt{2018})(\sqrt{2020}+\sqrt{2018})?\]

Divi spēlētāji pamīšus izvieto kauliņus tabulas \(6 \times 6\) rūtiņās. Vienā gājienā var aizpildīt vai nu vienu tukšu rūtiņu, vai vairākas tukšas rūtiņas, kuras atrodas vai nu vienā rindā, vai vienā kolonnā. Tas spēlētājs, kas nevar izdarīt gājienu, zaudē. Kurš spēlētājs - pirmais vai otrais - vienmēr var uzvarēt?

Divi spēlētāji pamīšus raksta uz tāfeles skaitļa \(144\) naturālos dalītājus. Katrā gājienā jāievēro šādi noteikumi:

• nedrīkst atkārtoti rakstīt jau uzrakstītu dalītāju;
• nedrīkst rakstīt dalītāju, kurš ir tieši \(2\) vai \(3\) reizes lielāks vai mazāks nekā kāds jau uzrakstītais dalītājs.

Zaudē tas spēlētājs, kurš nevar izdarīt gājienu. Kurš spēlētājs - pirmais vai otrais - vienmēr var uzvarēt?

Kādai mazākajai naturālai \(n\) vērtībai skaitli \(10^{n}\) iespējams izteikt kā sešu naturālu skaitļu reizinājumu tā, ka neviens no tiem nav mazāks kā \(10\) un to visu pēdējie cipari ir dažādi (tas ir, nevienam no tiem pēdējais cipars nesakrīt ar kāda cita skaitļa pēdējo ciparu)?

Kāds mazākais skaits rūtiņu jāiekrāso kvadrātā \(4 \times 4\), lai katrai no neiekrāsotajām rūtiņām būtu vismaz viena kopēja mala ar iekrāsoto rūtiņu? Pamato, ka tas ir mazākais iespējamais skaits!

Cik lielu leņķi (šaurāko) veido pulksteņa stundu un minūšu rādītājs (A) plkst. 14:00; (B) plkst. 13:40?

Vai skaitlis \(1234\ldots{}9899\) (pēc kārtas bez atstarpēm uzrakstīti visi naturālie skaitļi no \(1\) līdz \(99\)) dalās ar \(9\)?

Divi spēlētāji pamīšus raksta uz tāfeles skaitļa \(216\) naturālos dalītājus. Katrā gājienā jāievēro šādi noteikumi:

• nedrīkst atkārtoti rakstīt jau uzrakstītu dalītāju;
• nedrīkst rakstīt dalītāju, kurš ir tieši \(2\) vai \(3\) reizes lielāks vai mazāks nekā kāds jau uzrakstītais dalītājs.

Zaudē tas spēlētājs, kurš nevar izdarīt gājienu. Kurš spēlētājs - pirmais vai otrais - vienmēr var uzvarēt?

Zināms, ka vairāku naturālu skaitļu summa ir (A) \(2019\), (B) \(2020\). Kāds ir lielākais iespējamais šo skaitļu reizinājums?

Izliektā četrstūrī \(ABCD\) leņķu \(BAD\) un \(ADC\) bisektrises krustojas punktā \(M\). Pierādīt, ka \(BM=CM\), ja zināms, ka \(AD=AB+CD\).

Piezīme. Četrstūri sauc par izliektu, ja visi tā iekšējie leņķi ir mazāki nekā \(180^{\circ}\).

Sporta nometnē ir \(100\) skolēni. Ar \(N\) apzīmējam, cik veidos šos \(100\) skolēnus var sadalīt \(50\) pāros (pāru secība un arī skolēnu secība pārī nav svarīga). Ar kādu lielāko trijnieka pakāpi dalās \(N\)?

Dots taisnstūris \(ABCD\), kur \(AB < BC\). Uz malas \(BC\) izvēlēts tāds punkts \(E\), ka \(AE=AD\). Leņķa \(DAE\) bisektrise krusto malu \(CD\) punktā \(F\). Trijstūrī \(ADE\) novilkts augstums \(EG\). Pierādīt, ka \(\sphericalangle AGC=\sphericalangle AFC\).

Ja naturāla sešciparu skaitļa visus nepāra ciparus aizvietotu ar \(7\), iegūtu skaitli, kas ir par \(5998\) lielāks nekā sākotnējais skaitlis. Savukārt, ja sākotnējā skaitlī ar \(7\) aizvietotu visus pāra ciparus, tad iegūtais skaitlis būtu par \(500290\) lielāks nekā sākotnējais. Atrast doto sešciparu skaitli!

Kādai mazākajai naturālai \(n\) vērtībai skaitli \(10^{n}\) iespējams izteikt kā septiņu naturālu skaitļu reizinājumu tā, lai to visu pēdējie cipari ir dažādi (tas ir, nevienam no tiem pēdējais cipars nesakrīt ar kāda cita skaitļa pēdējo ciparu)?

Riņķis sadalīts \(15\) vienādās daļās (skat. 12.att.). Divi spēlētāji pamīšus tās aizkrāso. Vienā gājienā drīkst aizkrāsot vai nu vienu no šīm daļām, vai divas blakus esošas daļas. Spēlētājs, kurš nevar izdarīt gājienu, zaudē. Kurš spēlētājs - pirmais vai otrais - vienmēr var uzvarēt?

Atrisināt nevienādību

\[\frac{(x-20)^{19} \cdot(x+4)}{\left(\sqrt{x^{2}+4}\right)\left(9-x^{2}\right)} \geq 0\]

Dots reāls skaitlis \(x\) un naturāls skaitlis \(n\). Zināms, ka gan \(x^{2}-nx\), gan \(x^{3}-nx\) ir racionāli skaitļi. Pierādīt, ka arī \(x\) ir racionāls skaitlis!

Atrisināt vienādojumu

\[\cos 3x \cos 2x+\sin 2x \sin 3x=\left(\cos \frac{\pi}{10}-\sin \frac{\pi}{10}\right)\left(\sin \frac{\pi}{10}+\cos \frac{\pi}{10}\right)\]

Dots taisnstūris \(90 \times 19\) rūtiņas. Vienā gājienā spēlētājs var aizkrāsot \(n \times n\) rūtiņu kvadrātu (piemēram, \(1 \times 1\), \(2 \times 2\) utt.), kura visas rūtiņas ir neaizkrāsotas. Zaudē tas, kurš nevar izdarīt gājienu. Kurš spēlētājs - pirmais vai otrais - vienmēr var uzvarēt?

Dotas divas funkcijas \(f(x)=ax+b\) un \(g(x)=cx+d\). Zināms, ka katrai \(x\) vērtībai pastāv nevienādība \(f(x)>g(x)\). Noskaidrot, vai \((a-c)\) var būt pozitīvs, negatīvs skaitlis vai nulle!

Riņķis sadalīts \(16\) vienādās daļās (skat. 4.att.). Divi spēlētāji pamīšus tās aizkrāso. Vienā gājienā drīkst aizkrāsot vai nu vienu no šīm daļām, vai divas blakus esošas daļas. Spēlētājs, kurš nevar izdarīt gājienu, zaudē. Kurš spēlētājs - pirmais vai otrais - vienmēr var uzvarēt?

Atjaunojot taisnu žogu, Raimonds izraka vecos žoga stabus, kuri atradās \(8\) metru attālumā viens no otra un kuru skaits bija nepāra skaitlis. Raimonds sanesa visus stabus pie vidējā, nesdams tos pa vienam un sākdams ar vienu no malējiem stabiem. Cik bija stabu, ja viņš nostaigāja \(840~\mathrm{m}\)?

No visiem karalienes dimantiem vissmagākais sver tieši \(6\) reizes mazāk nekā visi pārējie kopā, trešais smagākais sver tieši \(9\) reizes mazāk nekā visi pārējie kopā, bet visvieglākais sver tieši \(11\) reizes mazāk nekā visi pārējie dimanti kopā. Cik dimantu ir karalienei?

Atrodi visus tādus sešciparu skaitļus, kuriem visi seši cipari ir vienādi un kurus var izteikt kā sešu dažādu pirmskaitļu reizinājumu! Pamato, ka atrasti ir visi tādi skaitļi un citu vairs nav!

Divi spēlētāji pamīšus aizkrāso tabulas \(9 \times 9\) rūtiņas. Spēlētājs, kurš spēli sāk, krāso rūtiņas melnā krāsā, viņa pretinieks - zilā krāsā. Vienā gājienā drīkst aizkrāsot tieši vienu rūtiņu. Kad visas rūtiņas ir aizkrāsotas, tad saskaita, cik ir tādu rindu un kolonnu, kuros melno rūtiņu ir vairāk nekā zilo - tie ir punkti, kurus ieguvis pirmais spēlētājs. Rindu un kolonnu skaits, kuros zilo rūtiņu ir vairāk nekā melno, ir otrā spēlētāja iegūtie punkti. Uzvar tas spēlētājs, kurš ir ieguvis vairāk punktu. Kurš spēlētājs - pirmais vai otrais - vienmēr var uzvarēt?

Dots vienādsānu taisnleņķa trijstūris \(ABC\) ar taisno leņķi \(C\). Uz tā hipotenūzas konstruēts taisnstūris \(ABNM\) tā, ka punkti \(C\) un \(N\) atrodas dažādās pusēs no taisnes \(AB\) un \(AC=AM\). Nogrieznis \(CM\) krusto \(AB\) punktā \(P\). Punkts \(L\) ir malas \(MN\) viduspunkts. Nogrieznis \(CL\) krusto \(PN\) punktā \(Q\). Pierādīt, ka (A) trijstūris \(CBP\) ir vienādsānu; (B) četrstūris \(QNBC\) ir rombs!

Plaknē novilktas \(5\) vertikālas, \(4\) horizontālas un \(3\) savstarpēji paralēlas slīpas taisnes. Cik paralelogramu izveido šīs taisnes?

Miljonāru kluba visbagātākajam biedram ir tieši \(8\) reizes mazāk naudas nekā visiem pārējiem biedriem kopā, ceturtajam bagātākajam biedram ir tieši \(11\) reizes mazāk naudas nekā visiem pārējiem biedriem kopā, bet visnabagākajam biedram ir tieši \(13\) reizes mazāk naudas nekā visiem pārējiem biedriem kopā. Cik biedru ir šajā klubā?

Kādām naturālām \(n\) vērtībām izteiksme \(n^{2}+n+19\) ir kāda naturāla skaitļa kvadrāts?

Vai var novietot plaknē \(5\) taisnes tā, lai katras divas no tām krustotos un kopā būtu tieši \(6\) krustpunkti?