Atrisināt vienādojumu sistēmu reālos skaitļos

\[\left\{\begin{array}{l} x^{3}+4x=5y \\ y^{3}+4y=5z \\ z^{3}+4z=5x \end{array}\right.\]

Izvēlēti trīs dažādi naturāli skaitļi un aprēķināti to reizinājumi pa pāriem, iegūstot trīs reizinājumus. Pierādīt, ka šos reizinājumus, dalot ar \(4\), vismaz divi dod vienādus atlikumus!

Atrast visus tādus veselu skaitļu pārus \((x; y)\), kas apmierina nevienādību sistēmu

\[\left\{ \begin{array}{c} 2x^{2}+2y^{2}+24x-28y+167<0 \\ x+2y<\frac{15}{2} \end{array} \right.\]

Trīs \(500\) litru mucās atrodas attiecīgi \(100,\ 107\) un \(113\) litri ūdens. Vienā gājienā atļauts jebkurā mucā \(M\) pieliet klāt no jebkuras citas mucas (kurā ir vismaz tikpat daudz ūdens kā mucā \(M\)) tik daudz ūdens, cik mucā \(M\) jau atrodas. Vai, veicot šādus gājienus, iespējams iztukšot (A) vienu mucu, (B) divas mucas?

Paralelograma \(ABCD\) malu \(BC\) un \(CD\) viduspunkti attiecīgi ir \(K\) un \(M\). Aprēķināt \(AD\) garumu, ja \(AK=6,\ AM=3\) un \(\sphericalangle KAM=60^{\circ}\).

Skaitļus \(a, b, c, d, e\) sauksim par skaistu piecinieku, ja tiem piemīt šādas īpašības:

• tie ir pieci pēc kārtas esoši naturāli skaitļi;
• katrs no tiem dalās ar savu ciparu summu.

Piemēram, skaists piecinieks ir \(6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 10\).

(A) Atrast tādu skaistu piecinieku, kurā mazākais skaitlis ir lielāks nekā \(10\).

(B) Pierādīt, ka eksistē bezgalīgi daudz skaistu piecinieku!

Izvēlēti \(12\) dažādi naturāli skaitļi, neviens no tiem nepārsniedz \(35\). Pierādīt, ka no šiem skaitļiem iespējams izvēlēties trīs atšķirīgus skaitļu pārus tā, ka visiem trīs pāriem lielākā un mazākā skaitļa starpība ir vienāda! Viens skaitlis var ietilpt arī divos pāros (vienreiz kā lielākais, otrreiz - kā mazākais).

Atrisināt veselos skaitļos vienādojumu \(x^{6}+3x^{3}+1=y^{4}\).

Taisnstūris, kura izmēri ir \(n \times m\) rūtiņas, griežot par rūtiņu līnijām, sagriezts \(1 \times 6\) rūtiņas lielos taisnstūros. Pierādīt, ka \(n\) vai \(m\) dalās ar \(6\).

Rūtiņu tabulas ar izmēriem \(8 \times 14\) katrā rūtiņā sēž tieši viena muša. Visas mušas pārlido uz citu tabulu ar izmēriem \(7 \times 16\) rūtiņas tā, ka katrā rūtiņā atkal ir tieši viena muša. Vai iespējams, ka visas mušas, kas bija kaimiņi sākotnējā izvietojumā (tas ir, atradās blakus rūtiņās ar kopīgu malu), būs kaimiņi arī jaunajā izvietojumā?

Desmit šahisti katrs ar katru izspēlēja vienu šaha partiju, dažas no tām beidzās neizšķirti. Ir zināms, ka bija tieši viens šahists, kas neizšķirti nospēlēja tieši vienu partiju, divi šahisti - kas nospēlēja divas, trīs šahisti - kas nospēlēja trīs, un četri šahisti, kas neizšķirti nospēlēja tieši četras partijas. Šos pēdējos četrus šahistus (kas katrs četras partijas nospēlēja neizšķirti) sauksim par neizšķirtu karaļiem, bet par karalisku neizšķirtu sauksim partiju, kurā neizšķirtu izcīnija divi neizšķirtu karaļi. Vai var apgalvot, ka tika izspēlēts (A) vismaz viens karaliskais neizšķirts, (B) vismaz divi karaliskie neizšķirti?

Skaitļus \(a,\ b,\ c\) sauksim par skaistu trijnieku, ja tiem piemīt šādas īpašības:

• tie ir trīs pēc kārtas esoši naturāli skaitļi;
• katrs no tiem dalās ar savu ciparu summu.

Piemēram, skaists trijnieks ir \(8,\ 9,\ 10\).

(A) Atrast tādu skaistu trijnieku, kurā mazākais skaitlis ir lielāks nekā \(10\).

(B) Pierādīt, ka eksistē bezgalīgi daudz skaistu trijnieku!

Dots vienādsānu trijstūris \(ABC\), kuram \(AC=6\) un \(AB=BC=5\). Uz malas \(AB\) atlikts tāds punkts \(D\), ka \(BD=2\), un uz malas \(AC\) atlikts tāds punkts \(E\), ka \(AE=2\). Nogriežņi \(BE\) un \(CD\) krustojas punktā \(M\). Aprēķināt trijstūra \(BMC\) laukumu!

Rindā izvietotas \(2018\) monētas. Vienā gājienā drīkst paņemt vienu monētu, pārcelt to pāri tieši divām monētām un uzlikt to uz nākamās monētas. Vai \(1009\) gājienos visas monētas iespējams savākt kaudzītēs pa divām monētām katrā kaudzītē?

Vienādsānu trijstūrī \(ABC\) no pamata \(BC\) viduspunkta \(H\) novilkts perpendikuls \(HE\) pret sānu malu \(AC\), punkts \(O\) ir nogriežņa \(HE\) viduspunkts. Pierādīt, ka \(AO \perp BE\) !

Zināms, ka \(a\) un \(b\) ir pozitīvi skaitļi, un kvadrātfunkciju \(y=ax^{2}+2018x+b\) un \(y=bx^{2}+2018x+a\) minimālo vērtību summa ir nulle. Pierādīt, ka katrai no šīm kvadrātfunkcijām minimālā vērtība ir nulle!

Apzīmēsim \(a=2018^{\lg (\lg 2018)},\ b=(\lg 2018)^{\lg 2018}\) un \(c=(\lg (\lg 2018))^{2018}\). Aprēķināt izteiksmes \(\frac{a-b}{c}+\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}\) vērtību!

Uz trijstūra \(ABC\) malas \(AB\) atlikti punkti \(D\) un \(E\) tā, ka \(AD=DE=EB\), uz malas \(BC\) - punkti \(F\) un \(G\) tā, ka \(BF=FG=GC\), uz malas \(AC\) - punkts \(H\) tā, ka \(2AH=CH\). Nogrieznis \(DF\) krusto nogriežņus \(EH\) un \(EG\) attiecīgi punktos \(P\) un \(R\). Pierādīt, ka \(DP=PR=RF\).

Trīs mucās attiecīgi ir \(a,\ b\) un \(c\) litri ūdens, kur \(a,\ b,\ c\) ir naturāli skaitļi. Katras mucas tilpums ir lielāks nekā \(a+b+c\) litri. Vienā gājienā atļauts jebkurā mucā \(M\) pieliet klāt no jebkuras citas mucas (kurā ir vismaz tikpat daudz ūdens kā mucā \(M\)) tik daudz ūdens, cik mucā \(M\) jau atrodas. Pierādīt, ka, veicot šādus gājienus, vienmēr iespējams iztukšot vienu no mucām!

Atrisināt nevienādību \(|||x-2|-3|-7|<5\).