Dota figūra, kuras laukums ir \(24\) rūtiņas (skat. 17.att.). Griežot pa rūtiņu līnijām, tā sagriezta sešās vienlielās daļās (katras daļas laukums ir \(4\) rūtiņas). Noteikt, kāds ir mazākais iespējamais griezuma līniju kopgarums, pieņemot, ka rūtiņas malas garums ir viena vienība!

Dots, ka piecciparu skaitlis \(\overline{acbba}\) dalās ar \(11\) un \(a>b>c\). Pierādīt, ka var atrast trīs citus piecciparu skaitļus, kas dalās ar \(11\), ir lielāki nekā \(\overline{acbba}\) un veidoti, samainot vietām sākotnējā skaitļa ciparus!

Maisiņā ir sarkanas, dzeltenas un zaļas lentes. Katra no meiteņu kora \(29\) dalībniecēm izvēlējās tieši trīs no šīm lentēm (ne obligāti dažādās krāsās).

a) Vai noteikti ir tāds lenšu krāsu komplekts, ko izvēlējās tieši divas meitenes?

b) Vai noteikti ir tāds lenšu krāsu komplekts, ko izvēlējās vismaz trīs meitenes?

c) Kāds mazākais skaits no dalībniecēm jāizvēlas, lai starp tām noteikti būtu trīs meitenes, kas izvēlējās vienu un to pašu lenšu krāsu komplektu?

Spīdolai ir \(482\) bildes un divi vienādi fotoalbumi. Pirmā albuma katrā lapā viņa ielīmēja tieši \(21\) bildi. Ja otrā albuma katrā lapā viņa ielīmētu tieši \(19\) bildes, tad lapu pietrūktu, savukārt, ja katrā lapā viņa ielīmētu tieši \(23\) bildes, tad vismaz viena lapa paliktu tukša. Cik lapu ir fotoalbumā?

Dots trijstūris \(PQR\), kurā \(\sphericalangle PQR=20^{\circ}\) un \(\sphericalangle PRQ=40^{\circ}\). No virsotnes \(P\) novilktā bisektrise krusto malu \(QR\) punktā \(S\), nogriežņa \(PS\) garums ir \(2\). Par cik mala \(QR\) ir garāka nekā \(PQ\) ?

Skolas ēdnīcas pusdienu piedāvājumā ir divas dažādas zupas, divi dažādi pamatēdieni un divi dažādi deserti. Pusdienās aizgāja \(30\) vienas klases skolēni, no katra ēdienu veida (zupa, pamatēdiens, deserts) katrs skolēns izvēlējās ne vairāk kā vienu ēdienu, pie tam nebija tāda skolēna, kurš neēda vispār neko. Vai noteikti ir divi skolēni, kas pasūtīja vienu un to pašu?

Sadali 1.att. doto figūru \(8\) vienādās daļās, tā, lai dalījuma līnijas ietu pa rūtiņu malām!

Piezīme. Daļas var būt pagrieztas vai apmestas otrādi attiecībā viena pret otru. Divas figūras sauc par vienādām, ja tās var uzlikt vienu uz otras tā, ka abas figūras pilnīgi sakrīt.

Vai taisnstūri ar izmēriem \(6 \times 8\) rūtiņas var pārklāt ar a) divām 3.att. dotajām figūrām un \(20\) figūrām, kādas dotas 4.att.; b) vienu 3.att. doto figūru un \(22\) figūrām, kādas dotas 4.att.? Figūras drīkst pagriezt.

Divciparu skaitļa sākumā un beigās pierakstīja ciparu \(1\). leguva četrciparu skaitli, kas ir \(23\) reizes lielāks nekā sākotnējais divciparu skaitlis. Kāds bija sākotnējais divciparu skaitlis? Atrodi visus derīgos divciparu skaitļus un pamato, ka citu nav!

Skolas ēdnīcas pusdienu piedāvājumā ir divas dažādas zupas, divi dažādi pamatēdieni un divi dažādi deserti. Pusdienās aizgāja \(200\) skolēni, no katra ēdienu veida (zupa, pamatēdiens, deserts) katrs skolēns izvēlējās ne vairāk kā vienu ēdienu, pie tam nebija tāda skolēna, kurš neēda vispār neko. Kāds ir lielākais skaits skolēnu, kas noteikti pasūtīja vienu un to pašu?

Visi naturālie skaitļi no \(1\) līdz \(16\) ierakstīti tabulas (skat. 10.att.) rūtiņās, katrā rūtiņā tieši viens skaitlis. Visās tabulas rindās, kolonnās un uz abām galvenajām diagonālēm rūtiņās ierakstīto skaitļu summas ir vienādas. Pierādit, ka iekrāsotajās rūtiņās ierakstīto skaitļu summa ir \(34\).

Vai var atrast tādus veselus skaitļus \(x\) un \(y\), ka \(20x^{3}-17y^{2}+1=2018\)?

Pierādīt, ka starp jebkuriem \(78\) trīsciparu skaitļiem var atrast četrus tādus skaitļus, kuru ciparu summas ir vienādas!

No cipariem \(1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9\), katru izmantojot vienu reizi, izveidoti trīs trīsciparu skaitļi. Ar kādu lielāko nuļļu skaitu var beigties šo trīs skaitļu summa?

Parādi divus dažādus piemērus, kādi naturāli skaitļi var būt ierakstīti \(\square\) vietā, lai ir patiesa vienādība

\[\frac{1}{\square}+\frac{1}{\square}+\frac{1}{\square}=1\]

Piezīme. Piemēri, kas atšķiras tikai ar saskaitāmo secību, nav dažādi.

Tautas deju kolektīvā ir \(18\) dejotāji, jaunākajam no tiem ir \(11\) gadi, bet vecākajam - \(15\) gadi.

(A) Vai noteikti šajā kolektīvā ir dejotājs, kuram ir \(13\) gadi?

(B) Vai varētu gadīties, ka šajā kolektīvā ir tikai četru dažādu vecumu dejotāji?

(C) Vai noteikti šajā kolektīvā ir vismaz pieci dejotāji, kam ir vienāds gadu skaits?

(D) Vai noteikti šajā kolektīvā ir vismaz četri dejotāji, kam ir vienāds gadu skaits?

Parādi vienu piemēru, kādus naturālus skaitļus var ierakstīt burtu \(a, b, c\) vietā, lai ir patiesa vienādība

\[\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{4}{5}\]

Punkts \(K\) ir kvadrāta \(ABCD\) malas \(AB\) viduspunkts. Uz diagonāles \(AC\) atlikts tāds punkts \(L\), ka \(AL:LC=3:1\). Pierādīt, ka \(\sphericalangle KLD=90^{\circ}\).

No cipariem \(1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9\), katru izmantojot divas reizes, izveidoti trīs sešciparu skaitļi. Ar kādu lielāko nuļļu skaitu var beigties trīs izveidoto skaitļu summa?

Trapeces \(ABCD\) pamatu \(AB\) un \(CD\) garumu summa ir vienāda ar sānu malas \(AD\) garumu. Pierādīt, ka leņķu \(DAB\) un \(CDA\) bisektrises krustojas \(BC\) viduspunktā!

Četrstāvu mājai ir vairāk nekā \(200\) logu. Zināms, ka pirmajā stāvā ir nepāra skaits logu, bet katrā no nākamiem stāviem to ir tieši par diviem mazāk nekā stāvu zemāk. Kāds mazākais logu skaits var būt šīs mājas ceturtajā stāvā?

Pierādīt, ka \(a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}+a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}d^{2}+d^{2}a^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2} \geq 10abcd\) visiem reāliem skaitļiem \(a, b, c, d\).

Divi spēlētāji pēc kārtas ņem konfektes no konfekšu kaudzes. Katrā gājienā jāpaņem vismaz viena, bet ne vairāk kā septiņas konfektes. Uzvar tas spēlētājs, kurš paņem pēdējo konfekti. Kurš no spēlētājiem (pirmais vai otrais) vienmēr var uzvarēt (neatkarīgi no pretinieka gājieniem), ja sākumā konfekšu kaudzē ir (A) \(64\) konfektes, (B) \(2018\) konfektes?

Dota figūra, kuras laukums ir \(28\) rūtiņas (skat. 22.att.). Griežot pa rūtiņu līnijām, tā sagriezta septiņās vienlielās daļās (katras daļas laukums ir \(4\) rūtiņas). Noteikt, kāds ir mazākais iespējamais griezuma līniju kopgarums, pieņemot, ka rūtiņas malas garums ir viena vienība!

Zināms, ka \(a\) ir tāds reāls skaitlis, ka \(a+\frac{1}{a}=3\). Aprēķināt a) \(a^{2}+\frac{1}{a^{2}}+2\); b) \(a^{4}+\frac{1}{a^{4}}\)

Aprēķināt \(\sphericalangle BCD+\sphericalangle DEF+\sphericalangle FGH\) (skat. 8.att.), ja \(AB \parallel GH, \sphericalangle ABC=120^{\circ}, \sphericalangle CDE=90^{\circ}\) un \(\sphericalangle EFG=60^{\circ}\).

Divas sniega tīrāmās mašīnas, strādājot vienlaicīgi, Sūnu ciema ielas var notīrīt \(4~\mathrm{h}\ 12~\mathrm{min}\). Ja pirmās mašīnas darba ražīgumu palielinātu divas reizes, bet otra mašīna sāktu strādāt par \(10\) minūtēm vēlāk nekā pirmā, tad sniegu notīrītu \(2~\mathrm{h}\ 30~\mathrm{min}\). Cik stundās sniegu Sūnu ciemā notīrītu, ja strādātu tikai otrā sniega tīrāmā mašīna?

Divi spēlētāji pēc kārtas ņem konfektes no konfekšu kaudzes. Katrā gājienā jāpaņem vismaz viena, bet ne vairāk kā septiņas konfektes. Zaudē tas spēlētājs, kuram jāņem pēdējā konfekte. Kurš no spēlētājiem (pirmais vai otrais) vienmēr var uzvarēt (neatkarīgi no pretinieka gājieniem), ja sākumā konfekšu kaudzē ir a) \(81\) konfekte, b) \(2018\) konfektes?

No cipariem \(1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9\), katru izmantojot divas reizes, izveidoja vienu septiņciparu, vienu sešciparu un vienu piecciparu skaitli. Ar kādu lielāko nuļļu skaitu var beigties trīs izveidoto skaitļu summa?

Maisiņā bija \(10\) sarkanas, \(10\) dzeltenas un \(10\) zaļas lentes. Tautas deju kolektīva astoņas meitenes katra izvēlējās vienu lenti no šī maisiņa.

a) Vai var apgalvot, ka tieši četras meitenes izvēlējās vienādas krāsas lentes?

b) Vai noteikti ir vismaz trīs meitenes, kas izvēlējās vienādas krāsas lentes?

c) Kāds mazākais skaits lenšu būtu jāizņem no maisiņa, lai varētu apgalvot, ka vismaz četras no tām ir vienā krāsā?

Parādi vienu piemēru, kādi naturāli skaitļi var būt ierakstīti burtu vietā, lai katru trīs pēc kārtas esošu skaitļu summa būtu \(20\).

\[7, a, b, c, d, e, f, 9\]

Uz gara baļķa \(600~\mathrm{cm}\) attālumā viens no otra atrodas gliemezis un skudra. Ja tie pārvietotos viens otram pretī, tad tie sastaptos pēc \(5\) minūtēm. Ja tie kustētos vienā virzienā ar tiem pašiem ātrumiem, tad skudra panāktu gliemezi pēc \(20\) minūtēm. Noteikt, cik centimetrus minūtē veic skudra un cik - gliemezis!

Jaunieši devās četru dienu pārgājienā gar jūru. Pirmajā dienā tie nogāja \(30~\mathrm{km}\). Otrajā dienā tie ar jahtu nobrauca \(20 \%\) no atlikušā ceļa. Trešajā dienā jaunieši atkal gāja kājām, noejot \(1,5\) reizes lielāku attālumu nekā viņi brauca ar jahtu. Ceturtajā dienā atlikušo ceļu \(1,5\) stundās jaunieši veica ar kvadricikliem, kuru ātrums ir \(40~\mathrm{km/h}\). Cik kilometru garš bija maršruts?

Visi naturālie skaitļi no \(1\) līdz \(16\) ierakstīti tabulas (skat. 13.att.) rūtiņās, katrā rūtiņā tieši viens skaitlis. Visās tabulas rindās, kolonnās un uz abām galvenajām diagonālēm rūtiņās ierakstīto skaitļu summas ir vienādas. Pierādīt, ka iekrāsotajās rūtiņās ierakstīto skaitļu summa ir \(34\).

Koru finālskatē piedalījās desmit zēnu kori, kopā \(291\) dalībnieks. Katrs dalībnieks dzied tieši vienā korī.

a) Vai noteikti ir tāds koris, kurā ir tieši \(20\) dalībnieki?

b) Vai var gadīties, ka ir tāds koris, kurā ir tieši \(32\) dalībnieki?

c) Vai var apgalvot, ka ir tieši viens tāds koris, kurā ir vismaz \(30\) dalībnieki?

d) Vai noteikti ir tāds koris, kurā ir vismaz \(30\) dalībnieki?

Doti naturāli skaitļi \(a\) un \(b\). Pierādīt

(A) ja \(20a+18b\) dalās ar \(7\), tad \(201a+8b\) dalās ar \(7\);

(B) ja \(201a+8b\) dalās ar \(7\), tad \(20a+18b\) dalās ar \(7\).

Vienādojuma ar veseliem koeficientiem \(x^{4}+bx^{2}+c=0\) vienas saknes vērtība ir \(\sqrt{20}-\sqrt{18}\). Atrast vienādojuma koeficientus un pārējās trīs saknes!

Trijstūrī \(ABC\) ievilktā riņķa līnija pieskaras malai \(AB\) punktā \(D\), bet malai \(AC\) punktā \(E\). Leņķu \(B\) un \(C\) bisektrises krusto taisni \(DE\) attiecīgi punktos \(M\) un \(N\). Pierādīt, ka punkti \(B,\ C,\ M\) un \(N\) atrodas uz vienas riņķa līnijas!

Sporta zālē trenējas \(32\) cilvēki, kuri visi ir vismaz \(21\) gadu veci. Pierādīt, ka no šiem cilvēkiem var atrast divus tādus, kuriem ir vairāk nekā \(30\) gadi vai \(4\) tādus, kuru gadu skaits ir vienāds!

Četrstūra \(ABCD\) malu \(AB\) un \(CD\) garumu summa ir vienāda ar malas \(AD\) garumu. Leņķu \(DAB\) un \(CDA\) bisektrišu krustpunkts \(F\) atrodas uz malas \(BC\). Pierādīt, ka punkts \(F\) ir \(BC\) viduspunkts!