Parādi vienu piemēru, kādus ciparus var ierakstīt burtu vietā, lai vienādība \(\overline{AC} \cdot C=\overline{AB} \cdot \overline{AB}\) būtu patiesa! Vienādi burti apzīmē vienādus ciparus, dažādi -- dažādus, turklāt \(A\) nav \(0\).

Pierādīt, ka visām naturālām \(n\) vērtībām izpildās \(1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots+n^{3}=(1+2+3+\cdots+n)^{2}\).

Pierādīt, ja \(x\) - naturāls skaitlis, tad \(x^{8}-x^{2}\) dalās ar \(252\).

(A) Kāds ir mazākais rūtiņu skaits, kas jāiekrāso \(6 \times 6\) rūtiņu kvadrātā, lai katrā šī kvadrāta \(2 \times 3\) rūtiņu taisnstūrī (tas var būt arī pagriezts vertikāli) būtu vismaz viena iekrāsota rūtiņa?
(B) Vai noteikti tad, kad ir iekrāsots mazākais rūtiņu skaits, visas četras stūra rūtiņas paliks neiekrāsotas?

Atrast tādu veselu skaitli \(n\), lai vienādība \((n-2021)(n-2018)(n-2017)(n-2016)=2016\) būtu patiesa!

Kvadrātā ar izmēriem \(7 \times 7\) rūtiņas sākotnēji visas rūtiņas ir baltas. Kāds ir mazākais rūtiņu skaits, kas jāiekrāso melnas, lai no dotā kvadrāta nevarētu izgriezt \(2 \times 3\) rūtiņu taisnstūri, kam visas rūtiņas ir baltas?

Lauriņa no taisnstūra ar izmēriem \(7 \times 2018\) rūtiņas izgriež 5.att. dotās figūras, bet Pēcītis no tāda paša taisnstūra izgriež 6.att. dotās figūras. Kurš no viņiem var izgriezt vairāk figūru? Figūras var būt pagrieztas vai apgrieztas spoguļattēlā.

Skaitļu virkne tiek veidota pēc šāda likuma: ja \(x\) ir virknes loceklis, tad nākamo virknes locekli aprēķina pēc formulas \(\frac{1}{1-x}\). Virknes pirmais loceklis ir \(4\). Aprēķini iegūtās virknes \(2018.\) locekli un pirmo \(2018\) locekļu summu!

Ap vienādsānu trijstūri \(ABC\) (\(AB=AC\)) apvilkta riņķa līnija. Caur virsotni \(B\) un loka \(AB\) (kas nesatur \(C\)) iekšēju punktu \(D\) novilkta taisne, uz kuras atzīmēts punkts \(E\) tā, ka \(AD=AE\). Pierādīt, ka trijstūri \(ABC\) un \(ADE\) ir līdzīgi!

Pierādīt, ka trijstūra, kura malu garumi ir \(\sqrt{40}, \sqrt{53}, \sqrt{145}\), laukums ir naturāls skaitlis!

Katras divas regulāra sešstūra virsotnes savieno vai nu ar sarkanu, vai zilu nogriezni. Aplūkosim visus trijstūrus, kuru virsotnes ir dotā sešstūra virsotnes. (A) Pierādīt, ka starp tiem ir vismaz viens vienkrāsas trijstūris! (B) Vai var gadīties, ka starp tiem ir tieši viens vienkrāsas trijstūris?

Trijstūri sauc par vienkrāsas, ja tam visas malas ir nokrāsotas vienā krāsā.

Kvadrāta \(ABCD\) mala \(AD\) pārlocīta tā, ka pēc pārlocīšanas punkts \(D\) sakrīt ar kādu \(BC\) iekšēju punktu \(D^{\prime}\), bet punkts \(A\) nonāk punktā \(A^{\prime}\). Nogrieznis \(A^{\prime}D^{\prime}\) krusto \(AB\) punktā \(E\) (skat. 34.att.). Pierādīt, ka \(A^{\prime}E\) garums ir vienāds ar trijstūrī \(EBD^{\prime}\) ievilktās riņķa līnijas rādiusu!

Miķelis ir izgudrojis spēli, kurā nepieciešama spēļu nauda - miķelīši. No \(1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 10,\ 20,\ 25\) un \(50\) miķelīšu naudaszīmēm Miķelis grib izvēlēties četru veidu naudaszīmes tā, lai jebkuru summu no \(1\) līdz \(70\) miķelīšem varētu izveidot, izmantojot ne vairāk kā sešas banknotes. Atrast vienu šādu četru naudaszīmju komplektu!

Cik veidos rindā var iestādīt septiņus kokus - liepas, ozolus, priedes un egles - tā, lai nekur blakus neatrastos divi skuju koki? (Nav obligāti jāizmanto visas koku sugas. Veidi, kas atšķiras ar koku secību rindā, ir dažādi.)

Cik dažādus naturālus skaitļus, kam visi cipari ir dažādi, var izveidot no cipariem \(2,\ 0,\ 1,\ 8\) ?

Cik dažādos veidos basketbolā var gūt \(18\) punktus, izmantojot tikai \(1\) punkta un \(3\) punktu metienus? Veidi, kas atšķiras tikai ar \(1\) punkta un \(3\) punktu metienu secību, tiek uzskatīti par dažādiem. Piemēram, \(4\) punktus var iegūt trīs dažādos veidos: \(4=1+1+1+1=1+3=3+1\).

Dots vienādojums \((a-3)x^{2}+5x-2=0\).
(A) Kādām \(a\) vērtībām vienādojumam ir tieši viena sakne?
(B) Kādām \(a\) vērtībām vienādojumam ir divas dažādas reālas saknes?

Paralelograma \(ABCD\) malu \(BC\) un \(AD\) viduspunkti ir attiecīgi \(E\) un \(F\). Aprēķināt četrstūra laukumu, ko ierobežo taisnes \(AE,\ ED,\ BF\) un \(FC\), ja zināms, ka \(ABCD\) laukums ir \(100\).

Sarkanā kvadrāta laukums ir \(80 \%\) no zilā kvadrāta laukuma, bet zilā kvadrāta laukums ir \(125 \%\) no zaļā kvadrāta laukuma. Kura kvadrāta mala ir visīsākā? Aprēķināt zaļā kvadrāta malas garumu, ja sarkanā kvadrāta laukums ir \(25~\mathrm{cm^{2}}\).

Miķelis ir izgudrojis spēli, kurā nepieciešama spēļu nauda - miķelīši. No \(1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 10\) un \(15\) miķelīšu naudaszīmēm Miķelis grib izvēlēties četru veidu naudaszīmes tā, lai jebkuru summu no \(1\) līdz \(30\) miķelīšiem varētu izveidot, izmantojot ne vairāk kā četras banknotes. Atrodi vienu šādu četru naudaszīmju komplektu!

Vienādojuma \(x^{3}-44x^{2}+623x-2860=0\) saknes ir trijstūra malu garumi. Aprēķināt šī trijstūra laukumu!

Raimonds veidoja virkni, visu laiku pēc kārtas rakstot skaitļa \(2018\) ciparus:

\[2,\ 0,\ 1,\ 8,\ 2,\ 0,\ 1,\ 8,\ 2,\ 0,\ 1,\ 8,\ \ldots\]

Kāds ir mazākais rūtiņu skaits, kas jāiekrāso taisnstūrī ar izmēriem \(5 \times 8\) rūtiņas, lai katrā šī taisnstūra \(2 \times 3\) rūtiņu taisnstūrī (tas var būt arī pagriezts vertikāli) būtu vismaz viena iekrāsota rūtiņa?

Vai kvadrātā ar izmēriem \(8 \times 8\) rūtiņas var iekrāsot \(12\) rūtiņas tā, lai katrā taisnstūrī ar izmēriem \(2 \times 3\) rūtiņas (tas var būt arī pagriezts vertikāli) būtu vismaz viena iekrāsota rūtiņa?

Vienkāršot izteiksmi \(\left(x^{2}-2 x+1\right)\left(x^{4}+1\right)^{2}\left(x^{2}+2x+1\right)\left(x^{4}+2x^{2}+1\right)\).

Uz trijstūra \(ABC\) malas \(AB\) izvēlēts patvaļīgs iekšējs punkts \(D\). Pierādīt, ka \(CD>\frac{1}{2}(CA+CB-AB)\).

Vilnis veidoja virkni, visu laiku pēc kārtas rakstot skaitļa \(29042018\) ciparus:

\[2; 9; 0; 4; 2; 0; 1; 8; 2; 9; 0; 4; 2; 0; 1; 8; 2; 9; 0; 4; 2; 0; 1; 8; \ldots \]

Atrast lielāko naturālo skaitli, kas dalās ar \(7\), kura ciparu summa ir \(100\) un kuram neviens cipars nav \(0\).

(A) Laine sāka pierakstīt, cik veidos var iegūt katru summu no \(2\) līdz \(12\), metot divus parastus metamos kauliņus: summu \(2\) var iegūt \(1\) veidā \((2=1+1)\), summu \(3\) var iegūt \(2\) dažādos veidos \((3=1+2=2+1)\), summu \(4\) var iegūt \(3\) dažādos veidos \((4=1+3=2+2=3+1)\). Kādos un cik dažādos veidos var iegūt visas atlikušās summas no \(5\) līdz \(12\)?

(B) Gunārs no diviem kubiem ir izveidojis divus neparastus metamos kauliņus. Vienam no tiem uz skaldnēm ir uzrakstīti skaitļi \(1,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6\) un \(8\). Kādi seši skaitļi ir uzrakstīti uz otra neparastā metamā kauliņa skaldnēm, ja zināms, ka, metot šos neparastos kauliņus, katru summu no \(2\) līdz \(12\) var iegūt tieši tikpat dažādos veidos, kā metot divus parastus metamos kauliņus! (Parādi vienu piemēru! Uzrakstītie skaitļi var atkārtoties.)

Naturālu pāra skaitli sauksim par raibu, ja tam vienlaikus ir spēkā šādas īpašības:

1. tajā neviens cipars nav nulle,
2. tam nav divu vienādu ciparu,
3. nekur blakus neatrodas divi pāra un divi nepāra cipari.

Vai ir iespējams, ka

(A) saskaitot divus piecciparu raibus skaitļus, arī summa būs piecciparu raibs skaitlis;

(B) saskaitot divus sešciparu raibus skaitļus, arī summa būs sešciparu raibs skaitlis?

Par maģisko kvadrātu sauc \(n \times n\) rūtiņu tabulu, kuras rūtiņās ierakstīti skaitļi no \(1\) līdz \(n^{2}\) tā, ka visās tabulas rindās, kolonnās un uz abām galvenajām diagonālēm rūtiņās ierakstīto skaitļu summas ir vienādas. (Katrs no skaitļiem ierakstīts tieši vienā rūtiņā.) Vai noteikti maģiskā kvadrāta centrālajā rūtiņā ir ierakstīts skaitlis \(\frac{n^{2}+1}{2}\), ja (A) \(n=3\), (B) \(n=5\)?

Uz koordinātu ass koordinātu sākumpunktā sēž blusa. Ar vienu lēcienu tā var aizlēkt vai nu \(1\), vai \(2\), vai \(5\) vienības pa labi. Cik dažādos veidos blusa var nokļūt punktā, kura koordināta ir \(15\)? (Veidus uzskata par atšķirīgiem, ja atšķiras izdarīto lēcienu secība.)

Naturāls skaitlis \(B\) ir iegūts no naturāla skaitļa \(A\), samainot vietām tā ciparus. Zināms, ka \(A+B=10^{45}\). Pierādīt, ka gan \(A\), gan \(B\) dalās ar \(5\).

Pierādīt, ka

\[\log _{81} 96=\frac{14-\log _{48} 54}{16 \log _{48} 54-4}\]

Artūrs no marinētu gurķīšu burkas ir apēdis \(\frac{1}{3}\) no visiem gurķīšiem. Rezultātā burkā šķidruma līmenis samazinājās par \(\frac{1}{5}\) no sākotnējā līmeņa. Cik reizes, salīdzinot ar jauno līmeni, samazināsies šķidruma līmenis burkā, ja Artūrs apēdīs visus atlikušos gurķīšus? (Artūrs ēda tikai gurķus, šķidrumu nē.)

Riņķa līnija \(\omega_{1}\) iekšēji pieskaras riņķa līnijai \(\omega_{2}\) punktā \(A\). No punkta \(P\), kas atrodas uz \(\omega_{2}\), novilktas hordas \(PQ\) un \(PR\), kas pieskaras \(\omega_{1}\) attiecīgi punktos \(X\) un \(Y\). Pierādīt, ka \(\sphericalangle QAR=2 \sphericalangle XAY\).

Naturālu skaitļu virknes \(1;\ 8;\ 8;\ 64;\ 192;\ 432;\ \ldots\) katrs loceklis, sākot ar trešo, ir vienāds ar divu iepriekšējo locekļu nenulles ciparu reizinājumu. Kāds ir šīs virknes \(2018.\) loceklis?

Cik dažādus taisnstūrus ar izmēriem \(1 \times 12\) var izveidot no 28.att. dotajām figūriņām? Taisnstūri, kas atšķiras ar figūriņu secību vai krāsu, ir dažādi, piemēram, 29.att. izveidoti četri dažādi taisnstūri ar izmēriem \(1 \times 4\).

Vai eksistē tādi naturāli skaitļi \(m\) un \(n\), ka \(m^{2}-n^{2}=2mn\) ?

Dots trijstūris \(ABC\). No virsotnes \(C\) novilkti perpendikuli \(CM\) un \(CN\) attiecīgi pret leņķa \(A\) un leņķa \(B\) ārējo leņķu bisektrisēm. Pierādīt, ka \(MN\) garums ir vienāds ar pusi no trijstūra \(ABC\) perimetra!