Naturālu skaitli sauksim par skaistu, ja tā visu naturālo dalītāju summa (ieskaitot \(1\) un pašu skaitli) ir nepāra skaitlis. Atrast mazāko naturālo skaiti \(k\) ar īpašību: starp jebkuriem patvaļīgi izvēlētiem \(k\) skaistiem skaitļiem var izvēlēties divus dažādus skaitļus tā, lai to reizinājums būtu naturāla skaitļa kvadrāts!

Četrstūris \(ABCD\) ir ievilkts riņķa līnijā \(\omega_{1}\), bet \(ABCD\) malu viduspunkti atrodas uz riņķa līnijas \(\omega_{2}\). Pierādīt, ka \(\sphericalangle ABD+\sphericalangle BDC=90^{\circ}\).

Kurš no skaitļiem \((\sqrt{7})^{\sqrt{5}}\) un \((\sqrt{5})^{\sqrt{7}}\) ir lielāks?

Dots pirmskaitlis, kas satur vismaz \(4\) dažādus ciparus. Pierādīt, ka tā ciparus var pārkārtot citā secībā tā, lai jauniegūtais skaitlis nebūtu pirmskaitlis!

Trīs riņķa līnijas \(\omega_{1},\ \omega_{2}\) un \(\omega_{3}\) krustojas punktā \(O\). Riņķa līnijas pa pāriem krustojas arī punktos \(P\left(\omega_{1}\right.\) un \(\left.\omega_{2}\right), R\left(\omega_{2}\right.\) un \(\left.\omega_{3}\right)\) un \(S\left(\omega_{1}\right.\) un \(\left.\omega_{3}\right)\). Uz \(\omega_{1}\) loka \(P S\), kas nesatur \(O\), izvēlēts punkts \(A\), taisne \(AP\) vēlreiz krusto \(\omega_{2}\) punktā \(B\), un taisne \(AS\) vēlreiz krusto \(\omega_{3}\) punktā \(C\). Pierādīt, ka punkti \(B,\ R\) un \(C\) atrodas uz vienas taisnes!

Katra no bumbiņām, kas atrodas kastē, nokrāsota vienā no \(N\) krāsām, un uz katras uzrakstīts naturāls skaitlis, kas nepārsniedz \(N\). Zināms, ka katra no \(N\) krāsām izmantota vismaz vienu reizi, tāpat arī katrs skaitlis, kas nepārsniedz \(N\), izmantots vismaz vienu reizi. Kādām \(N\) vērtībām kastē noteikti varēs atrast \(N\) dažādu krāsu bumbiņas, uz kurām būs rakstīti \(N\) dažādi skaitļi?

Dots taisnstūris \(ABCD\). Uz taisnes \(BD\) atlikts punkts \(E\), tā ka \(D\) atrodas starp \(B\) un \(E\). Uz taisnes \(EC\) atlikts punkts \(F\) tā, ka \(BF\) ir paralēls \(AC\). Pierādīt, ka trijstūra \(BEF\) laukums ir lielāks nekā taisnstūra \(ABCD\) laukums!

Dots, ka \(b\) un \(c\) ir naturāli skaitļi un kvadrātvienādojuma \(x^{2}-bx+c=0\) reālās saknes ir \(x_{1}\) un \(x_{2}\). Pierādīt, ka (A) \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+2017\); (B) \(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}\) ir naturāls skaitlis!

Dotas \(40\) kartītes, uz divām no tām uzrakstīts skaitlis \(1\), uz divām - skaitlis \(2,\ \ldots\), uz divām - skaitlis \(20\). Kāds ir lielākais iespējamais komplektu skaits, ko vienlaicīgi var izveidot no šīm \(40\) kartītēm tā, lai katrā komplektā būtu trīs kartītes, uz kurām uzrakstīto skaitļu summa ir \(21\)?

Pierādīt, ka \(x^{4}-x^{2}-3x+4>0\) visiem reāliem \(x\).

Pierādīt, ka no jebkuriem \(17\) naturāliem skaitļiem var izvēlēties \(9\) skaitļus tā, lai to summa dalītos ar \(9\).

Uz taisnes atlikti punkti \(P,\ Q,\ R\) un \(S\) tā, ka \(PQ=RS\) (skat. 1.att.). Nogriežņi \(PQ,\ RS,\ PS,\ QR\) ir riņķu diametri. Nogrieznis \(MN\) ir iekrāsotās figūras simetrijas ass. Pierādīt, ka iekrāsotās figūras laukums ir vienāds ar laukumu riņķim, kura diametrs ir \(MN\).

Doti tādi skaitļi \(a,\ b\) un \(c\), ka \(a+c=\frac{b}{3^{3}}\), turklāt neviens no skaitļiem \(a,\ b,\ c\) nav \(0\). Pierādit, ka \(f(x)=ax^{2}+bx+c\) grafiks noteikti krusto \(x\) asi kādā intervāla \([-1 ; 1]\) punktā!

Uz riņķa līnijas atzīmēti \(N\) punkti tā, ka šie punkti ir regulāra \(N\) - stūra virsotnes. Spēlētāji \(A\) un \(B\) spēlē šādu spēli: Viņi pārmaiņus novelk pa vienai hordai, kas savieno divus atzīmētos punktus uz riņķa līnijas tā, lai novilktā horda nekrustotos ar agrāk novilktajām hordām. Uzvar tas spēlētājs, pēc kura gājiena no novilktajām hordām izveidojas trijstūris. Kurš spēlētājs noteikti var uzvarēt, ja \(A\) izdara pirmo gājienu un (A) \(N=14\); (B) \(N=15\)?

Seši tūristi bija devušies vairākos ceļojumos uz sešām valstīm, katrā ceļojumā viens tūrists apceļoja tieši vienu valsti. Ja izvēlamies jebkuras trīs valstis un jebkurus trīs tūristus, tad vismaz viens no viņiem ir bijis ceļojumā uz kādu no šīm valstīm. Kāds ir mazākais iespējamais kopējais ceļojumu skaits?

Naturālā piecciparu skaitlī vienādus ciparus aizstāja ar vienādiem burtiem, bet dažādus ciparus - ar dažādiem burtiem, un ieguva pierakstu \(GANGA\). Zināms, ka \(GANGA\), dalot ar \(7\), dod atlikumu \(A,\ GANGA\), dalot ar \(11\), dod atlikumu \(N\), bet \(GANGA\), dalot ar \(13\), dod atlikumu \(G\), turklāt \(G>A>N\). Kāds varēja būt sākotnējais skaitlis?

Doti \(63\) dažādi naturāli skaitļi, kuru summa ir \(2017\). Atrodiet šos skaitļus un pamatojiet, ka citu nav!

Kādā valstī no parlamenta deputātiem ir izveidotas \(100\) komisijas. Katram deputātam ir pienākums strādāt vismaz vienā komisijā, taču deputāti drīkst strādāt arī vairākās komisijās. Deputāti par darbu komisijās katru mēnesi saņem atalgojumu pēc šāda principa:

• par darbu pirmajā komisijā netiek maksāts atalgojums;
• par darbu katrā nākamajā komisijā tiek maksāts par \(10\) eiro vairāk nekā par darbu iepriekšējā komisijā (tas ir, par darbu otrajā komisijā tiek maksāti \(10\) eiro, par darbu trešajā komisijā tiek maksāti \(20\) eiro utt.).

Zināms, ka jebkurām divām dažādām komisijām ir tieši viens kopīgs deputāts, kas darbojas tajās abās. Cik liels ir visu deputātu kopējais mēneša atalgojums par darbu komisijās?

Pierādī, ka \(\sqrt{x^{2}+y^{2}}+(2-\sqrt{2}) \sqrt{xy} \geq x+y\), ja \(x\) un \(y\) ir reāli pozitīvi skaitļi!

Cik ir tādu piecciparu skaitļu, kam katrs nākamais cipars ir lielāks par iepriekšējo?