Pierādīt, ka \(x^{2}+2y^{2}+2xy+y+1 > 0\), ja \(x, y\) - reāli skaitļi!

Naturālu skaitli sauksim par pārdabisku, ja, tā ciparus uzrakstot pretējā secībā, iegūst skaitli, kas ir lielāks nekā sākotnējais skaitlis, un iegūtais skaitlis dalās ar sākotnējo skaitli. Mazākais pārdabiskais skaitlis ir \(1089\), jo \(9801:1089=9\). Atrast vēl divus citus pārdabiskus skaitļus!

Pierādīt, ka \(x^{2}+y^{2}+4 \geq 2x-2y-xy\), ja \(x, y-\) reāli skaitļi!

Zināms, ka skaitļu \(a_{1}; a_{2}; a_{3}\) summa ir \(105\) un tie veido aritmētisko progresiju, bet skaitļi \(a_{1}; a_{2}\); \(a_{3}+4\) veido ģeometrisko progresiju. Atrast visas iespējamās \(a_{1}; a_{2}; a_{3}\) vērtības un pamatot, ka citu nav!

Dots taisnstūris ar izmēriem \(7 \times 5\) rūtiņas. Griežot pa rūtiņu līnijām, tas sagriezts septiņās vienlielās daļās (katras daļas laukums ir \(5\) rūtiņas). Noteikt, kāds ir mazākais iespējamais griezuma līniju kopgarums, pieņemot, ka rūtiņas malas garums ir viena vienība!

Kādu lielāko skaitu \(5 \times 13\) rūtiņu taisnstūru var izgriezt no rūtiņu lapas, kuras izmēri ir a) \(41 \times 65\); b) \(47 \times 65\) rūtiņas?

Desmitciparu skaitlī vienādus ciparus aizvietojot ar vienādiem burtiem, bet dažādus- ar dažādiem, ieguva vārdu MATEMĀTIKA (īsais " \(A\) " un garais " \(Ā\) " aizstāj atšķirīgus ciparus). Papildus zināms, ka skaitlis \(\overline{MA}\) dalās ar \(2\), \(\overline{MAT}\)- ar \(3\), \(\overline{MATE}\)- ar \(4\), \(\overline{\text { MATEM }}\)- ar \(5\), \(\overline{MATEM \bar{A}}\)- ar \(6\), \(\overline{MATEM \bar{A}T}\)- ar \(7\), \(\overline{MATEM \bar{A}TI}\)- ar \(8\), \(\overline{MATEM \bar{A}TIK}\)- ar \(9\), \(\overline{MATEM \bar{A}TIKA}\)- ar \(10\). Noteikt, kāds bija sākotnējais desmitciparu skaitlis!

Kāds ir mazākais rūtiņu skaits, kas jāiekrāso \(4 \times 4\) rūtiņu kvadrātā, lai neatkarīgi no tā, kuras divas rūtiņu rindas un divas rūtiņu kolonnas tiktu izmestas, vismaz viena iekrāsotā rūtiņa paliktu neizmesta?

Parkā aug liepas un ozoli. No visiem kokiem liepas ir \(25 \%\), bet ozoli- \(75 \%\). Pavasara talkas pirmajā dienā skolēni parkā stādīja tikai liepas, kā rezultātā dienas beigās ozolu īpatsvars parkā nokritās līdz \(15\%\). Talkas otrajā dienā skolēni parkā stādīja tikai ozolus, kā rezultātā dienas beigās parkā izveidojās tāda pati koku proporcija ( \(25 \%\) liepu un \(75 \%\) ozolu), kāda bija pirms talkas. Cik reizes parkā pieauga ozolu skaits pēc talkas beigām, salīdzinot ar situāciju pirms tās?

Skaitlim \(2016201620172017\) izsvītroja vienu vai vairākus ciparus tā, ka iegūtais skaitlis dalās ar \(3\). Kādu lielāko skaitli varēja iegūt?

Uz kvadrāta \(ABCD\) malām atzīmēti punkti \(E, F, G\) un \(H\) tā, ka \(\frac{AE}{EB}=\frac{BF}{FC}=\frac{CG}{GD}=\frac{DH}{AH}=9\). Aprēķināt iekrāsotās daļas (skat. 23.att.) laukuma attiecību pret \(ABCD\) laukumu!

Kvadrāta \(ABCD\) diagonāles krustojas punktā \(O\), punkts \(E\) ir nogriežņa \(AO\) viduspunkts. Taisne \(BE\) krusto malu \(AD\) punktā \(F\), bet taisne \(FO\) krusto malu \(BC\) punktā \(G\). Pierādīt, ka trijstūris \(BFG\) ir vienādsānu!

Pierādīt, ka \(9x^{6}-x^{3}+1 > 0\) visiem reāliem \(x\).

Veikalā "Kartupelis un apelsīns" ir jauns norēķinu veids, lietojot kases aparātu "Runā un maksā". Pircējs mikrofonā pasaka, ko un cik daudz vēlas iegādāties, un tad kases aparāts izdrukā čeku, kuru ir jāapmaksā. Pircējs saka: "Vēlos samaksāt par \(1~\mathrm{kg}\) apelsīnu (cena \(0,90 € / \mathrm{kg}\) ), \(2~\mathrm{kg}\) banānu (cena \(0,60 € / \mathrm{kg}\) ) un trīs vienādiem dzērveņu želejkonfekšu iepakojumiem, kuru cenu neatceros.

Kases aparāts izdrukā čeku par \(€ 5,30\).

Pircējs nav ar mieru un lūdz pārrēķināt. Tik tiešām - jaunajā čekā ir cita summa. Kā var noteikti zināt, ka pirmais čeks bija kļūdains?

Šaha zirdziņš ir sasitis kāju, tāpēc viņš veic vienu garu lēcienu (tas ir, no tās rūtiņas, kurā stāv zirdziņš, viņš var aizlēkt uz jebkuru rūtiņu, kas atzīmēta ar " \(x\) ", skat. 6.att.) un vienu īsu lēcienu (tas ir, no tās rūtiņas, kurā stāv zirdziņš, viņš var aizlēkt uz jebkuru rūtiņu, kas atzīmēta ar " \(y\) ", skat. 7.att.). Vai zirdziņš var apstaigāt 8.att. doto figūru, pamīšus izpildot vienu garu lēcienu, vienu īsu lēcienu, vienu garu lēcienu, vienu īsu lēcienu, .... ?

Piezīme. Apstaigāt figūru nozīmē, ka zirdziņš katrā figūras rūtiņā ir bijis tieši vienu reizi.

Šaha zirdziņš ir sasitis kāju, tāpēc viņš veic vienu garu lēcienu (tas ir, no tās rūtiņas, kurā stāv zirdziņš, viņš var aizlēkt uz jebkuru rūtiņu, kas atzīmēta ar " \(x\) ", skat. 3.att.) un vienu īsu lēcienu (tas ir, no tās rūtiņas, kurā stāv zirdziņš, viņš var aizlēkt uz jebkuru rūtiņu, kas atzīmēta ar " \(y\) ", skat. 4.att.). Parādi, kā klibais zirdziņš var apstaigāt šaha galdiņu ar izmēriem \(4 \times 4\) lauciņi, pamīšus izpildot vienu garu lēcienu, vienu īsu lēcienu, vienu garu lēcienu, vienu īsu lēcienu, .. !

Piezīme. Apstaigāt galdiņu nozīmē, ka zirdziņš katrā šaha galdiņa lauciņā ir bijis tieši vienu reizi.

Trijstūrī \(ABC(AB < BC)\) novilkta bisektrise \(BD\). Uz \(BD\) izvēlēts tāds punkts \(F\), ka \(\sphericalangle AFD=\sphericalangle ADF\), un uz \(BC\) izvēlēts tāds punkts \(E\), ka \(FE || AC\). Pierādīt, ka \(\sphericalangle BAF=\sphericalangle BEF!\)

Krokodils, lauva, tīģeris un gepards iztiku sev sagādā, medījot antilopes. Katrs no tiem vienā dienā var nomedīt vienu antilopi, ar to, neskaitot medību dienu, krokodilam pietiek vēl vienai dienai, lauvam - vēl divām dienām, tīģerim - vēl trim dienām, bet gepardam - vēl četrām dienām. Katrs no tiem nākamajā dienā pēc tam, kad ir apēdis savu antilopi, atkal dodas medībās. Zināms, ka \(2017.\) gada \(17.\) februārī tie visi bija devušies medībās. Kurš būs nākamais tuvākais datums, kad tie visi reizē atkal dosies medībās?

Skaitlim \(201720182019\) izsvītroja vienu vai vairākus ciparus tā, ka iegūtais skaitlis dalās ar \(9\). Kādu lielāko skaitli varēja iegūt?

Slidotavai "Pa plānu ledu" ir taisnstūrveida forma un tās perimetrs ir \(120\) metri. Pie slidotavas vienas malas atrodas kvadrātveida laukums, kurā uzbūvēta slidu noma, bet pie blakus malas atrodas kvadrātveida stāvlaukums (skat. 18.att.). Stāvlaukuma platība ir par \(1200 \mathrm{~m}^{2}\) lielāka nekā slidu nomas platība. Aprēķini slidotavas platību!

(A) Pierādīt, ka starp \(1010\) dažādiem naturāliem skaitļiem, no kuriem neviens nepārsniedz \(2017\), vienmēr iespējams izvēlēties trīs skaitļus tā, ka divu izvēlēto skaitļu summa ir vienāda ar trešo skaitli!

(B) Vai šāda īpašība ir spēkā arī \(1009\) dažādiem naturāliem skaitļiem, kas nepārsniedz \(2017\)?

Koka sija sver \(90~\mathrm{kg}\), bet par \(2~\mathrm{m}\) garāka dzelzs sija sver \(160~\mathrm{kg}\), pie tam viens metrs dzelzs sijas sver par \(5\) kilogramiem vairāk nekā viens metrs koka sijas. Cik sver viens metrs katras sijas?

Trapeces \(ABCD\) pamatu attiecība \(BC:AD=3:5\). Uz sānu malas \(CD\) atlikts punkts \(E\) tā, ka nogrieznis \(AE\) dala trapeces laukumu uz pusēm. Kādā attiecībā punkts \(E\) sadala sānu malu \(CD\) ?

Piecciparu skaitļa kas dalās ar \(13\), pirmais cipars ir vienāds ar ceturto, bet otrais - ar piekto. Kāds ir šī skaitļa trešais cipars? Atrodi visas iespējamās vērtības un pamato, ka citu nav!

Atrisināt naturālos skaitļos vienādojumu sistēmu:

\[\left\{\begin{array}{l} x+z=2017 \tag{1}\\ 31xz=y^{2} \end{array}\right.\]

Punkti \(A\) un \(B\) ir \(16 ~\mathrm{km}\) attālumā viens no otra, bet \(B\) un \(C-12 ~\mathrm{km}\) attālumā. Šoseja \(A-B-C\) punktā \(B\) izveido taisnu leņķi (skat. 26.att.). Ceļinieka ātrums pa šoseju ir \(v ~\mathrm{km/h}\), bet pa lauku ceļu ātrums ir \(c ~\mathrm{km/h}\). Ja ceļinieks dodas no \(A\) uz \(C\) pa šoseju (maršruts \(A \rightarrow B \rightarrow C\) ), tad viņš nonāk galapunktā par \(20 ~\mathrm{min}\) ātrāk nekā ejot no \(A\) uz \(C\) pa lauku ceļu (maršruts \(A \rightarrow C\) ). Ja turpretī viņš iet \(11 ~\mathrm{km}\) pa šoseju no \(A\) uz \(D\) un pēc tam uz \(C\) pa lauku ceļu (maršruts \(A \rightarrow D \rightarrow C\) ), tad viņš ceļā pavada \(5\) stundas un \(5\) minūtes. Aprēķināt \(v\) un \(c\)!

Pierādīt, ka \(x^{4}+2x^{3}y+2xy^{3}+y^{4} \geq 6x^{2}y^{2}\), ja \(x\) un \(y\) ir reāli pozitīvi skaitļi!

Divi septītās klases skolēni un vairāki astotās klases skolēni piedalījās skolas šaha turnīrā. Turnīrā katrs dalībnieks ar katru izspēlēja vienu partiju. Katrā partijā par uzvaru dalībniekam tika piešķirts viens punkts, par neizšķirtu katrs dalībnieks saņēma \(0,5\) punktus, bet par zaudējumu punkti netika piešķirti. Turnīra beigās septītās klases skolēni kopā bija ieguvuši \(8\) punktus, bet visi astotās klases skolēni bija ieguvuši vienādu punktu skaitu. Cik astotās klases skolēni piedalījās turnīrā? Atrodi visus iespējamos variantus un pamato, ka citu nav!

Divas dažādas riņķa līnijas iekšēji pieskaras punktā \(A\). Lielākās riņķa līnijas centrs ir \(O\) un taisne \(OA\) krusto mazāko riņķa līniju punktā \(B\), bet lielāko- punktā \(C\). Lielākās riņķa līnijas diametrs, kas ir perpendikulārs \(OA\), krusto mazāko riņķa līniju punktā \(D\), bet lielāko- punktā \(E\) (punkts \(D\) atrodas starp \(O\) un \(E\), skat. 38.att.). Aprēķināt abu riņķa līniju rādiusu garumus, ja \(DE=5\) un \(BC=7\).

a) Parādi, kā šaha zirdziņš var apstaigāt šaha galdiņu ar izmēriem \(5 \times 5\) lauciņi! Vienā lēcienā no tās rūtiņas, kurā stāv zirdziņš, tas var aizlēkt uz jebkuru rūtiņu, kas atzīmēta ar " \(x\) ", skat. 19.att.

b) Šaha zirdziņš ir sasitis kāju, tāpēc tas veic vienu garu lēcienu (skat. 19.att.) un vienu īsu lēcienu (no tās rūtiņas, kurā stāv zirdziņš, tas var aizlēkt uz jebkuru rūtiņu, kas atzīmēta ar " \(y\) ", skat. 20.att.). Vai klibais zirdziņš var apstaigāt šaha galdiņu izmēriem \(5 \times 5\) lauciņi, pamīšus izpildot vienu garu lēcienu, vienu īsu lēcienu, vienu garu lēcienu, vienu īsu lēcienu, ....?

Piezīme. Apstaigāt galdiņu nozīmē, ka zirdziņš katrā šaha galdiņa lauciņā ir bijis tieši vienu reizi.

Četras riņķa līnijas ārēji pieskaras tā, kā parādīts 34.att. Pierādīt, ka četrstūrim, ko veido riņķa līniju pieskaršanās punkti, var apvilkt riņķa līniju!

Antra un Baiba spēlē spēli uz \(3 \times 3\) rūtiņu laukuma. Spēlētājas gājienus izdara pēc kārtas, katrā gājienā kādā no tukšajām rūtiņām ierakstot vai nu nullīti, vai krustiņu (katra spēlētāja katrā gājienā var rakstīt jebkuru no šiem simboliem). Kad viss laukums aizpildīts, tiek saskaitīts spēles rezultāts. Par katru rindu, kolonnu un diagonāli (tādu, kas satur \(3\) rūtiņas), ja tajā ir pāra skaits krustiņu, punktu saņem Antra, bet, ja krustiņu skaits ir nepāra, tad punktu saņem Baiba. Uzvar spēlētāja, kuras punktu kopsumma ir lielāka. Pierādīt, ka spēlētājai, kura sāk spēli, ir uzvaroša stratēģija, un aprakstīt to!

Zane uz papīra lapas uzzīmēja riņķa līniju un kvadrātu (tā, ka neviens no tiem nepieskaras lapas malai) un tad sagrieza lapu pa to kontūriem. Cik daļās var būt sagriezta lapa? Atrodi visus variantus, nav jāpamato, ka citu nav! Vienu piemēru, kā lapa var būt sagriezta \(4\) daļās, skat. 14.att.

Uz autoceļa "Brauc un piesprādzējies" ir trīs braukšanas joslas. Pa pirmo joslu jābrauc ar ātrumu no \(50\) līdz \(70\) kilometriem stundā, pa otro joslu - ar ātrumu no \(90\) līdz \(110\) kilometriem stundā, bet pa trešo - ar ātrumu no \(120\) līdz \(140\) kilometriem stundā.

Autovadītājs brauc pa autoceļa "Brauc un piesprādzējies" vienu noteiktu joslu un ievēro, ka uz odometra (ierīce, kas rāda nobrauktā ceļa garumu kilometros) displeja redzams rādījums

\(15951\)

Autovadītājs, ievērojot šo simetrisko skaitli, kas vienādi lasāms gan no labās, gan kreisās puses, nolēma pēc divām stundām atkal aplūkot displeju.

Izrādījās, ka displejā atkal bija redzams simetrisks skaitlis. Pa kuru joslu vai joslām noteikti nebrauca autovadītājs?

Jebkuriem diviem pozitīviem skaitļiem \(x\) un \(y\) piekārtots trešais skaitlis \(x^{\lg y}\), ko apzīmēsim ar \(x * y\). Pierādīt, ka pozitīviem skaitļiem \(x, y\) un \(z\) izpildās \((x * y) * z=x * (y * z)\).

Naturālu skaitli sauksim par pārdabisku, ja, tā ciparus uzrakstot pretējā secībā, iegūst skaitli, kas ir lielāks nekā sākotnējais skaitlis, un iegūtais skaitlis dalās ar sākotnējo skaitli. Mazākais pārdabiskais skaitlis ir \(1089\), jo \(9801:1089=9\).
(A) Atrast vēl divus citus pārdabiskus skaitļus!
(B) Pierādīt, ka pārdabisku skaitļu ir bezgalīgi daudz!

Ja no piecciparu skaitļa, kam pirmais cipars vienāds ar ceturto, bet otrais - ar piekto, atņem vieninieku tad iegūtais skaitlis dalās ar \(11\). Kāds var būt sākotnējā piecciparu skaitļa trešais cipars? Atrodi visus iespējamos variantus un pamato, ka citu nav!

Zane uz papīra lapas uzzīmēja riņķa līniju un kvadrātu (tā, ka neviens no tiem nepieskaras lapas malai), izkrāsoja riņķi pelēku un tad sagrieza lapu pa to kontūriem. Cik pelēkas daļas viņa šādi varēja iegūt? Atrodi visus variantus, nav jāpamato, ka citu nav! Vienu piemēru, kā var iegūt \(2\) pelēkas daļas, skat. 1.att.

Varde vienā lēcienā var pārvietoties vienu rūtiņu uz augšu vai vienu rūtiņu pa labi. Cik dažādos veidos varde no rūtiņas \(A\) var nokļut rūtiņā \(B\) (skat. 11.att.)? Iekrāsotajās rūtiņās ir šķērslis, tajās varde neiet.

Uz rūtiņu lapas uzzīmē tādu trijstūri \(ABC\), lai vienlaicīgi izpildītos šādi nosacījumi:

• visas trijstūra virsotnes atrodas rūtiņu krustpunktos;
• punkts \(X\) ir nogriežņa \(AB\) viduspunkts;
• punkts \(Y\) ir nogriežņa \(AC\) viduspunkts;
• nogriežņi \(BY\) un \(CX\) krustojoties veido \(90^{\circ}\) lielu leņķi.

Piezīme. Nogriežņa viduspunkts ir tāds punkts, kas sadala nogriezni divos vienāda garuma nogriežnoos.